Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình bình hành. Gọi $M, N$ lần lượt thuộc các cạnh $S A, S D$ sao cho $3 S M = 2 S A, 3 S N = 2 S D .$ Mặt phẳng $\left(...

The Collectors · 31/5/21

Câu hỏi: Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình bình hành. Gọi

M, N

lần lượt thuộc các cạnh

S A, S D

sao cho

3 S M = 2 S A, 3 S N = 2 S D .

Mặt phẳng

(α)

chứa

M N

cắt cạnh

S B, S C

lần lượt tại

Q, P

. Đặt

\frac{S Q}{S B} = x, V_{1}

là thể tích của khối chóp

S . M N P Q

,

V

là thể tích khối chóp

S . A B C D

. Tìm

x

để

V_{1} = \frac{1}{2} V .

A.

x = \frac{- 2 + \sqrt{58}}{6} .

B.

x = \frac{- 1 + \sqrt{41}}{4} .

C.

x = \frac{- 1 + \sqrt{33}}{4} .

D.

x = \frac{1}{2} .

Cách 1.

Ta có

V_{1} = V_{S . M N P Q} = V_{S . M N Q} + V_{S . P N Q}

Ta có

{\begin{aligned} (α) \cap (S B C) = P Q \\ M N / / B C \\ M N \subset (α) \\ B C \subset (S B C) \end{aligned} \Rightarrow P Q / / M N / / B C \Rightarrow \frac{S P}{S C} = \frac{S Q}{S B} = x .

Có

\frac{V_{S . M N Q}}{V_{S . A D B}} = \frac{S M}{S A} . \frac{S N}{S D} . \frac{S Q}{S B} = \frac{2}{3} . \frac{2}{3} x = \frac{4}{9 x} \Rightarrow V_{S . M N Q} = \frac{4 x}{9} V_{S . A D B} = \frac{4 x}{9} . \frac{V}{2} = \frac{2 x}{9} V .

Đồng thời

\frac{V_{S . P N Q}}{V_{S . C D B}} = \frac{S P}{S C} . \frac{S N}{S D} . \frac{S Q}{S B} = x . \frac{2}{3} . x = \frac{2 x^{2}}{3} \Rightarrow V_{S . P N Q} = \frac{2 x^{2}}{3} . V_{S . C D B} = \frac{2 x^{2}}{3} . \frac{V}{2} = \frac{x^{2}}{3} V .

Như vậy

V_{1} = (\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 x}{9}) V .

Mà theo giả thiết ta có

V_{1} = \frac{1}{2} V

nên ta suy ra:

\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 x}{9} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = \frac{- 2 + \sqrt{58}}{6} (N h a n) \\ x = \frac{- 2 - \sqrt{58}}{6} (L o a i) \end{aligned} .

Vậy

x = \frac{- 2 + \sqrt{58}}{6} .

Cách 2:

Đặt

a = \frac{S M}{S A} = \frac{2}{3}; b = \frac{S N}{S D} = \frac{2}{3}; c = \frac{S P}{S C} .

Ta có

\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{1}{b} + \frac{1}{x} \Rightarrow c = x .

Lại có

\frac{V_{1}}{V} = \frac{a b c x}{4} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{x}) = \frac{x^{2}}{9} (3 + \frac{2}{x}) .

Mà

\frac{V_{1}}{V} = \frac{1}{2} \Rightarrow 6 x^{3} + 4 x^{2} - 9 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = 0 (L o a i) \\ x = \frac{- 2 + \sqrt{58}}{6} (N h a n) \\ x = \frac{- 2 - \sqrt{58}}{6} (L o a i) \end{aligned} .

Vậy

x = \frac{- 2 + \sqrt{58}}{6} .

Đáp án A.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N lần lượt thuộc các cạnh SA,SD sao cho 3SM=2SA,3SN=2SD. Mặt phẳng $\left(...