Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có cạnh bên $SB$ vuông góc với mặt đáy và $ABCD$ là hình chữ nhật. Biết $S B=2 a, A B=3 a, B C=4 a$ và gọi $\alpha$ là góc giữa mặt phẳng $\left( SAC \right)$ và mặt đáy. Giá trị $\tan \alpha $ bằng
A. $\dfrac{3}{4}$.
B. $\dfrac{4}{3}$.
C. $\dfrac{5}{6}$.
D. $\dfrac{6}{5}$.
Trong tam giác vuông $BAC$, gọi $H$ là chân đường cao hạ từ $B$ lên $AC$, khi đó
$BH=\dfrac{BA.BC}{\sqrt{B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}}}}=\dfrac{3a.4a}{\sqrt{{{\left( 3a \right)}^{2}}+{{\left( 4a \right)}^{2}}}}=\dfrac{12a}{5}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AC\bot SB \\
& AC\bot BH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AC\bot \left( SBH \right)$.
Mà $\left( SAC \right)\cap \left( ABCD \right)=AC$ nên $\alpha =\left( \widehat{\left( SAC \right),\left( ABC\text{D} \right)} \right)=\widehat{SHB}$.
Tam giác $SHB$ vuông tại $B$ có $\tan \alpha =\dfrac{SB}{BH}=\dfrac{2a}{\dfrac{12a}{5}}=\dfrac{5}{6}$.
A. $\dfrac{3}{4}$.
B. $\dfrac{4}{3}$.
C. $\dfrac{5}{6}$.
D. $\dfrac{6}{5}$.
$BH=\dfrac{BA.BC}{\sqrt{B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}}}}=\dfrac{3a.4a}{\sqrt{{{\left( 3a \right)}^{2}}+{{\left( 4a \right)}^{2}}}}=\dfrac{12a}{5}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AC\bot SB \\
& AC\bot BH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AC\bot \left( SBH \right)$.
Mà $\left( SAC \right)\cap \left( ABCD \right)=AC$ nên $\alpha =\left( \widehat{\left( SAC \right),\left( ABC\text{D} \right)} \right)=\widehat{SHB}$.
Tam giác $SHB$ vuông tại $B$ có $\tan \alpha =\dfrac{SB}{BH}=\dfrac{2a}{\dfrac{12a}{5}}=\dfrac{5}{6}$.
Đáp án C.