Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $4,SA$...

Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$, $H$ là hình chiếu của $C$ trên $SO$.
Khi đó $CH\bot \left( SBD \right)\Rightarrow \left( \widehat{SC,\left( SBD \right)} \right)=\widehat{CSO}\Rightarrow \dfrac{SH}{SC}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$.
$\begin{aligned}
& \Rightarrow \dfrac{SO+OH}{SC}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10} \\
& \Rightarrow \dfrac{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{O}^{2}}}+OH}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10} \\
& \Rightarrow \dfrac{\sqrt{S{{A}^{2}}+8}+OH}{\sqrt{S{{A}^{2}}+32}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\text{ }\left( 1 \right) \\
\end{aligned}$
Lại có $\Delta SAO$ đồng dạng $\Delta CHO$ nên $\dfrac{SO}{CO}=\dfrac{AO}{OH}\Rightarrow SO.OH=A{{O}^{2}}\Rightarrow SO.OH=8\text{ }\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) suy ra $\dfrac{\sqrt{S{{A}^{2}}+8}+\dfrac{8}{\sqrt{S{{A}^{2}}+8}}}{\sqrt{S{{A}^{2}}+32}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\Rightarrow S{{A}^{4}}-40S{{A}^{2}}+256=0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& S{{A}^{2}}=8 \\
& S{{A}^{2}}=32=A{{C}^{2}}\left( loa\ddot{i}i \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow SA=2\sqrt{2} \\
& \Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SA=\dfrac{1}{3}{{.4}^{2}}.2\sqrt{2}=\dfrac{32\sqrt{2}}{3}. \\
\end{aligned}$