Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ và $\widehat{ABC}={{60}^{\circ }}$. Biết rằng $SA=SC$, $SB=SD$ và $\left( SAB \right)\bot \left( SBC \right)$. $G$ là trọng tâm tam giác $\left( SAD \right)$. Tính thể tích $V$ của tứ diện $GSAC$.
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{48}$.
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}$.
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{96}$.
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{48}$.
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}$.
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{96}$.
Phương pháp:
- Tính khoảng cách từ Gđến ( SAC) thông qua tỉ số $\dfrac{d\left( G;\left( SAC \right) \right)}{d\left( D;\left( SAC \right) \right)}=\dfrac{1}{3}$
- Tìm góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) ; ( SBC) .
- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính chiều cao hình chóp.
- Sử dụng công thức để tính thể tích.
Cách giải:
Gọi O= AC⋂ BD⇒ Olà trung điểm của AC, BD.
Vì ∆ SAC, ∆ SBDcân tại Snên $\left\{ \begin{aligned}
& SO\bot AC \\
& S0\bot BD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$
Do ABCDlà hình thoi có ∠ ABC= 60 °.
⇒ AC= a; OD= OB= $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& DO\bot AC\left( gt \right) \\
& DO\bot SO\left( SO\bot \left( ABCD \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow DO\bot \left( SAC \right)$
Vì Glà trọng tâm ∆ SADnên $\dfrac{d\left( G;\left( SAC \right) \right)}{d\left( D;\left( SAC \right) \right)}=\dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow d\left( G;\left( SAC \right) \right)=\dfrac{1}{3}DO=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$
Ta có: SO⊥ AC(do ∆ SACcân tại S).
Mà AC⊥ BD( gt) ⇒ AC⊥ ( SBD) ⇒ AC⊥ SB.
Kẻ AH⊥ SBta có: $\begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( SBC \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( SBC \right) \\
& \left( SAB \right)\supset AH\bot SB \\
\end{aligned} \right.=SB\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right) \\
& \\
\end{aligned}$
⇒ AH⊥ HC⇒∆ ACHvuông tại H. Mà AH= HC $\sqrt{S{{A}^{2}}-S{{H}^{2}}}\Rightarrow \Delta ACH$ vuông cân tại H.
⇒ HO= $\dfrac{CA}{2}=\dfrac{a}{2}$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SB\left( cachve \right) \\
& AC\bot SB\left( AC\bot \left( SBD \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SB\bot \left( AHC \right)\Rightarrow SB\bot OH$
Xét tam giác SBOvuông tại Ocó đường cao OH:
$\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{B}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
⇔ $\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}\Leftrightarrow SO=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta SAC}}=\dfrac{1}{2}SO.AC=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{6}}{4}.a=\dfrac{{{a}^{2\sqrt{6}}}}{8}$
Vậy ${{V}_{GSAC}}=~\dfrac{1}{3}d\left( G;\left( SAC \right) \right).{{S}_{\Delta SAC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{6}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{6}}{8}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{48}$
- Tính khoảng cách từ Gđến ( SAC) thông qua tỉ số $\dfrac{d\left( G;\left( SAC \right) \right)}{d\left( D;\left( SAC \right) \right)}=\dfrac{1}{3}$
- Tìm góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) ; ( SBC) .
- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính chiều cao hình chóp.
- Sử dụng công thức để tính thể tích.
Cách giải:
Gọi O= AC⋂ BD⇒ Olà trung điểm của AC, BD.
Vì ∆ SAC, ∆ SBDcân tại Snên $\left\{ \begin{aligned}
& SO\bot AC \\
& S0\bot BD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$
Do ABCDlà hình thoi có ∠ ABC= 60 °.
⇒ AC= a; OD= OB= $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& DO\bot AC\left( gt \right) \\
& DO\bot SO\left( SO\bot \left( ABCD \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow DO\bot \left( SAC \right)$
Vì Glà trọng tâm ∆ SADnên $\dfrac{d\left( G;\left( SAC \right) \right)}{d\left( D;\left( SAC \right) \right)}=\dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow d\left( G;\left( SAC \right) \right)=\dfrac{1}{3}DO=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$
Ta có: SO⊥ AC(do ∆ SACcân tại S).
Mà AC⊥ BD( gt) ⇒ AC⊥ ( SBD) ⇒ AC⊥ SB.
Kẻ AH⊥ SBta có: $\begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( SBC \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( SBC \right) \\
& \left( SAB \right)\supset AH\bot SB \\
\end{aligned} \right.=SB\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right) \\
& \\
\end{aligned}$
⇒ AH⊥ HC⇒∆ ACHvuông tại H. Mà AH= HC $\sqrt{S{{A}^{2}}-S{{H}^{2}}}\Rightarrow \Delta ACH$ vuông cân tại H.
⇒ HO= $\dfrac{CA}{2}=\dfrac{a}{2}$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SB\left( cachve \right) \\
& AC\bot SB\left( AC\bot \left( SBD \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SB\bot \left( AHC \right)\Rightarrow SB\bot OH$
Xét tam giác SBOvuông tại Ocó đường cao OH:
$\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{B}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
⇔ $\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}\Leftrightarrow SO=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta SAC}}=\dfrac{1}{2}SO.AC=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{6}}{4}.a=\dfrac{{{a}^{2\sqrt{6}}}}{8}$
Vậy ${{V}_{GSAC}}=~\dfrac{1}{3}d\left( G;\left( SAC \right) \right).{{S}_{\Delta SAC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{6}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{6}}{8}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{48}$
Đáp án A.