Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, góc $ABC=60{}^\circ $, $SA\bot \left( ABCD \right)$, $SA=\dfrac{3a}{2}$. Gọi $O$ là tâm của hình thoi $ABCD$. Khoảng cách từ điểm $O$ đến $\left( SBC \right)$ bằng:
A. $\dfrac{5a}{4}$.
B. $\dfrac{3a}{8}$.
C. $\dfrac{5a}{8}$.
D. $\dfrac{3a}{4}$.
Ta có: $d\left( O,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A,\left( SBC \right) \right)$
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.
Xét tam giác $ABC$ có: $AB=BC$ và góc $ABC=60{}^\circ $ nên tam giác $ABC$ đều
Suy ra $AM$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của tam giác đều $ABC$
$\Rightarrow AM\bot BC,\ \text{AM=}\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.Mà $SA\bot BC$ ( do $SA\bot \left( ABCD \right)$ ) $\Rightarrow \left( SAM \right)\bot BC$ $\Rightarrow \left( SAM \right)\bot \left( SBC \right)$
$\left( SAM \right)\cap \left( SBC \right)=SM$
Trong mặt phẳng $\left( SAM \right)$ từ $A$ kẻ $AH\bot SM$ $\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)$ $\Rightarrow d\left( A,\left( SBC \right) \right)=AH$
Xét tam giác vuông $\Delta SAM$ : $\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}$ $\Rightarrow AH=\dfrac{3a}{4}$ $\Rightarrow d\left( A,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{3a}{4}$ $\Rightarrow d\left( 0,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{3a}{8}$
Vậy khoảng cách từ điểm $O$ đến $\left( SBC \right)$ bằng $\dfrac{3a}{8}$.
A. $\dfrac{5a}{4}$.
B. $\dfrac{3a}{8}$.
C. $\dfrac{5a}{8}$.
D. $\dfrac{3a}{4}$.
Ta có: $d\left( O,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A,\left( SBC \right) \right)$
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.
Xét tam giác $ABC$ có: $AB=BC$ và góc $ABC=60{}^\circ $ nên tam giác $ABC$ đều
Suy ra $AM$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của tam giác đều $ABC$
$\Rightarrow AM\bot BC,\ \text{AM=}\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.Mà $SA\bot BC$ ( do $SA\bot \left( ABCD \right)$ ) $\Rightarrow \left( SAM \right)\bot BC$ $\Rightarrow \left( SAM \right)\bot \left( SBC \right)$
$\left( SAM \right)\cap \left( SBC \right)=SM$
Trong mặt phẳng $\left( SAM \right)$ từ $A$ kẻ $AH\bot SM$ $\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)$ $\Rightarrow d\left( A,\left( SBC \right) \right)=AH$
Xét tam giác vuông $\Delta SAM$ : $\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}$ $\Rightarrow AH=\dfrac{3a}{4}$ $\Rightarrow d\left( A,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{3a}{4}$ $\Rightarrow d\left( 0,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{3a}{8}$
Vậy khoảng cách từ điểm $O$ đến $\left( SBC \right)$ bằng $\dfrac{3a}{8}$.
Đáp án B.