Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình thang vuông tại đỉnh $A$ và $D.$ Biết độ dài $AB=4a,AD=3a,CD=5a$ và tam giác $SBC$ đều và góc giữa mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $(ABCD)$ bằng ${{60}^{0}}.$ Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a.$
A. $\dfrac{27\sqrt{10}{{a}^{3}}}{4}$.
B. $\dfrac{27{{a}^{3}}}{4}$.
C. $\dfrac{27\sqrt{10}{{a}^{3}}}{8}$.
D. $\dfrac{27{{a}^{3}}}{8}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC\Rightarrow SM\bot BC\left( 1 \right)$ (Do tam giác $SBC$ đều).
Ta có $DB=DC=5a\Rightarrow DM\bot BC\left( 2 \right).$
Từ (1) và (2) ta có $BC\bot \left( SDM \right)$.
Ta có $\left( \left( SBC \right),\left( ABCD \right) \right)=\widehat{SMD}={{60}^{0}}.$
Gọi $V$ là thể tích khối chóp $S.ABCD$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& dt\left( \Delta ABD \right)=6{{a}^{2}} \\
& dt\left( \Delta BDC \right)=\dfrac{15}{2}{{a}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \dfrac{dt\left( \Delta ABD \right)}{dt\left( \Delta CBD \right)}=\dfrac{3}{5}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{S.ABD}}}{{{V}_{S.CBD}}}=\dfrac{4}{5}\Rightarrow {{V}_{S.ABD}}=\dfrac{4}{9}V.$
Gọi $V$ là thể tích khối chóp $S.ABCD\Rightarrow V={{V}_{S.ABD}}+{{V}_{S.BCD}}=\dfrac{4}{9}V+2{{V}_{S.DBM}}\Rightarrow V=\dfrac{18}{5}{{V}_{B.SMD}}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC=\sqrt{10}a\Rightarrow SM=\dfrac{a\sqrt{30}}{2} \\
& DM=\dfrac{3\sqrt{10}}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow dt\left( SDM \right)=\dfrac{1}{2}MD.MS.\sin {{60}^{0}}=\dfrac{45{{a}^{2}}}{8}.$
Ta có ${{V}_{B.SMD}}=\dfrac{1}{3}BM.d\left( \Delta SMD \right)=\dfrac{1}{3}\dfrac{a\sqrt{10}}{2}.\dfrac{45{{a}^{2}}}{8}=\dfrac{15}{16}{{a}^{3}}\sqrt{10}\Rightarrow V=\dfrac{18}{5}.\dfrac{15}{16}{{a}^{3}}\sqrt{10}=\dfrac{27{{a}^{3}}\sqrt{10}}{8}.$
A. $\dfrac{27\sqrt{10}{{a}^{3}}}{4}$.
B. $\dfrac{27{{a}^{3}}}{4}$.
C. $\dfrac{27\sqrt{10}{{a}^{3}}}{8}$.
D. $\dfrac{27{{a}^{3}}}{8}$.
Ta có $DB=DC=5a\Rightarrow DM\bot BC\left( 2 \right).$
Từ (1) và (2) ta có $BC\bot \left( SDM \right)$.
Ta có $\left( \left( SBC \right),\left( ABCD \right) \right)=\widehat{SMD}={{60}^{0}}.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& dt\left( \Delta ABD \right)=6{{a}^{2}} \\
& dt\left( \Delta BDC \right)=\dfrac{15}{2}{{a}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \dfrac{dt\left( \Delta ABD \right)}{dt\left( \Delta CBD \right)}=\dfrac{3}{5}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{S.ABD}}}{{{V}_{S.CBD}}}=\dfrac{4}{5}\Rightarrow {{V}_{S.ABD}}=\dfrac{4}{9}V.$
Gọi $V$ là thể tích khối chóp $S.ABCD\Rightarrow V={{V}_{S.ABD}}+{{V}_{S.BCD}}=\dfrac{4}{9}V+2{{V}_{S.DBM}}\Rightarrow V=\dfrac{18}{5}{{V}_{B.SMD}}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC=\sqrt{10}a\Rightarrow SM=\dfrac{a\sqrt{30}}{2} \\
& DM=\dfrac{3\sqrt{10}}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow dt\left( SDM \right)=\dfrac{1}{2}MD.MS.\sin {{60}^{0}}=\dfrac{45{{a}^{2}}}{8}.$
Ta có ${{V}_{B.SMD}}=\dfrac{1}{3}BM.d\left( \Delta SMD \right)=\dfrac{1}{3}\dfrac{a\sqrt{10}}{2}.\dfrac{45{{a}^{2}}}{8}=\dfrac{15}{16}{{a}^{3}}\sqrt{10}\Rightarrow V=\dfrac{18}{5}.\dfrac{15}{16}{{a}^{3}}\sqrt{10}=\dfrac{27{{a}^{3}}\sqrt{10}}{8}.$
Đáp án C.