Cho hình chóp $S . A B C D$ có $A B C D$ là hình thang vuông tại đỉnh...

The Collectors · 20/4/23

Câu hỏi: Cho hình chóp $S . A B C D$ có $A B C D$ là hình thang vuông tại đỉnh

A

và

D .

Biết độ dài

A B = 4 a, A D = 3 a, C D = 5 a

và tam giác

S B C

đều và góc giữa mặt phẳng

(S B C)

và

(A B C D)

bằng

60^{0} .

Tính thể tích khối chóp

S . A B C D

theo

a .

A.

\frac{27 \sqrt{10} a^{3}}{4}

.
B.

\frac{27 a^{3}}{4}

.
C.

\frac{27 \sqrt{10} a^{3}}{8}

.
D.

\frac{27 a^{3}}{8}

.

Gọi

M

là trung điểm của

B C \Rightarrow S M ⊥ B C (1)

(Do tam giác

S B C

đều).
Ta có

D B = D C = 5 a \Rightarrow D M ⊥ B C (2) .

Từ (1) và (2) ta có

B C ⊥ (S D M)

.
Ta có

((S B C), (A B C D)) = \hat{S M D} = 60^{0} .

Gọi

V

là thể tích khối chóp

S . A B C D

.
Ta có

{\begin{aligned} d t (Δ A B D) = 6 a^{2} \\ d t (Δ B D C) = \frac{15}{2} a^{2} \end{aligned} \Rightarrow \frac{d t (Δ A B D)}{d t (Δ C B D)} = \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{V_{S . A B D}}{V_{S . C B D}} = \frac{4}{5} \Rightarrow V_{S . A B D} = \frac{4}{9} V .

Gọi

V

là thể tích khối chóp

S . A B C D \Rightarrow V = V_{S . A B D} + V_{S . B C D} = \frac{4}{9} V + 2 V_{S . D B M} \Rightarrow V = \frac{18}{5} V_{B . S M D}

.
Ta có

{\begin{aligned} B C = \sqrt{10} a \Rightarrow S M = \frac{a \sqrt{30}}{2} \\ D M = \frac{3 \sqrt{10}}{2} \end{aligned} \Rightarrow d t (S D M) = \frac{1}{2} M D . M S . \sin 60^{0} = \frac{45 a^{2}}{8} .

Ta có

V_{B . S M D} = \frac{1}{3} B M . d (Δ S M D) = \frac{1}{3} \frac{a \sqrt{10}}{2} . \frac{45 a^{2}}{8} = \frac{15}{16} a^{3} \sqrt{10} \Rightarrow V = \frac{18}{5} . \frac{15}{16} a^{3} \sqrt{10} = \frac{27 a^{3} \sqrt{10}}{8} .

Đáp án C.

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại đỉnh...