Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình chữ nhật có $AB=2a,BC=4a$ , $\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)$ , hai mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy $ABCD$ một góc 30o .Tính thể tích hình chóp $S.ABCD$ theo a.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
B. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$.
C. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
B. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$.
C. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$.
Phương pháp:
- Xác định chiều cao của khối chóp: Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, một đường nằm trong mặt này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Tính chiều cao SI dựa vào tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.
- Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp có chiều cao h, diện tích đáy B là $V=\dfrac{1}{3}Bh$
Cách giải:
Trong ( SAB) kẻ SI⊥ AB( I∈ AB) ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right) \\
& \left( SAB \right)\supset SI\bot AB \\
\end{aligned} \right.$ = AB ⇒ SI⊥ ( ABCD) .
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB\left( gt \right) \\
& BC\bot SI\left( SI\bot \left( ABCD \right) \right) \\
\end{aligned} \right.$ ⇒ BC⊥ ( SAB) ⇒ BC⊥ SB
Ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)=BC \\
& \left( SAB \right)\supset SB\bot BC \\
& \left( ABCD \right)\supset AB\bot BC \\
\end{aligned} \right. $⇒$ \angle \left( \left( SBC \right);\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SB;AB \right)=\angle SBA={{30}^{0}}$.
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được $\angle \left( \left( SAD \right);\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SA;AB \right)=\angle SAB={{30}^{0}}$
Do đó tam giác SABcân tại Snên Ilà trung điểm của AB .
Tam giác SIAvuông tại Icó $\angle SAB={{30}^{0}},AI=a\Rightarrow SI=a\tan {{30}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$
${{S}_{ABCD}}=AB.BC=2a.4a=8{{a}^{2}}$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SI.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.8{{a}^{2}}=\dfrac{8\sqrt{3}}{9}{{a}^{3}}$
- Xác định chiều cao của khối chóp: Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, một đường nằm trong mặt này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Tính chiều cao SI dựa vào tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.
- Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp có chiều cao h, diện tích đáy B là $V=\dfrac{1}{3}Bh$
Cách giải:
Trong ( SAB) kẻ SI⊥ AB( I∈ AB) ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right) \\
& \left( SAB \right)\supset SI\bot AB \\
\end{aligned} \right.$ = AB ⇒ SI⊥ ( ABCD) .
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB\left( gt \right) \\
& BC\bot SI\left( SI\bot \left( ABCD \right) \right) \\
\end{aligned} \right.$ ⇒ BC⊥ ( SAB) ⇒ BC⊥ SB
Ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)=BC \\
& \left( SAB \right)\supset SB\bot BC \\
& \left( ABCD \right)\supset AB\bot BC \\
\end{aligned} \right. $⇒$ \angle \left( \left( SBC \right);\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SB;AB \right)=\angle SBA={{30}^{0}}$.
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được $\angle \left( \left( SAD \right);\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SA;AB \right)=\angle SAB={{30}^{0}}$
Do đó tam giác SABcân tại Snên Ilà trung điểm của AB .
Tam giác SIAvuông tại Icó $\angle SAB={{30}^{0}},AI=a\Rightarrow SI=a\tan {{30}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$
${{S}_{ABCD}}=AB.BC=2a.4a=8{{a}^{2}}$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SI.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.8{{a}^{2}}=\dfrac{8\sqrt{3}}{9}{{a}^{3}}$
Đáp án B.