Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC\text{D}$ có đáy $ABC\text{D}$ là hình vuông cạnh $a$. Tam giác $SAB$ vuông tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC\text{D}$ bằng
A. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{3}$.
C. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{6}$.
D. $\dfrac{11\sqrt{11}\pi {{a}^{3}}}{162}$.
Ta có$$$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABC\text{D} \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( ABC\text{D} \right)=AB \\
& BC\bot AB \\
\end{aligned} \right. \Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SA $ $ \left( 1 \right)$
Mà tam giác $SAB$ vuông tại $S$ $\Rightarrow SB\bot SA$ $\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right)\Rightarrow SA\bot \left( SBC \right)\Rightarrow SA\bot SC$.
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABC\text{D}$, khi đó ta được $OA=OB=OC=OS=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
$O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC\text{D}$ ; Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC\text{D}$ bằng $V=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{3}}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
A. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{3}$.
C. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{6}$.
D. $\dfrac{11\sqrt{11}\pi {{a}^{3}}}{162}$.
& \left( SAB \right)\bot \left( ABC\text{D} \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( ABC\text{D} \right)=AB \\
& BC\bot AB \\
\end{aligned} \right. \Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SA $ $ \left( 1 \right)$
Mà tam giác $SAB$ vuông tại $S$ $\Rightarrow SB\bot SA$ $\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right)\Rightarrow SA\bot \left( SBC \right)\Rightarrow SA\bot SC$.
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABC\text{D}$, khi đó ta được $OA=OB=OC=OS=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
$O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC\text{D}$ ; Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC\text{D}$ bằng $V=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{3}}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
Đáp án B.