Cho hình chóp S. ABC, đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết SA = AB = BC và diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp...

Phương pháp giải:
- Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp, tính bán kính mặt cầu, từ đó suy ra độ dài cạnh SC.
- Đặt SA = AB = BC = x, sử dụng định lí Pytago giải phương trình tìm x.
- Tính thể tích khối chóp $V=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABC}}$.
Giải chi tiết:

Gọi O là trung điểm của AC. Vì tam giác ABC vuông tại B nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Gọi I, M là trung điểm của SC, SA. Ta có IO là đường trung bình của tam giác SAC $\Rightarrow IO//SA$.
Mà $SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow IO\bot \left( ABC \right)\Rightarrow IO$ là trực của $\left( ABC \right)$ $\Rightarrow IA=IB=IC$.
Lại có IM là đường trung bình của tam giác SAC nên IM // AC $\Rightarrow IM\bot SA$ $\Rightarrow IM$ là trung trực của SA, do đó $IS=IA$.
$\Rightarrow IA=IB=IC=IS$ $\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$.
⇒ Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp chóp S. ABC là $R=\dfrac{1}{2}SC$.
Ta lại có $4\pi {{R}^{2}}=3\pi \Leftrightarrow R=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SC=\sqrt{3}$.
Đặt $SA=AB=BC=x$, ta có tam giác SAB vuông cân tại A nên $SB=x\sqrt{2}$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
BC\bot AB \\
BC\bot SA \\
\end{array} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SB $ $ \Rightarrow \Delta SBC$ vuông tại B.
$\Rightarrow S{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=S{{C}^{2}}\Rightarrow 2{{x}^{2}}+{{x}^{2}}=3\Leftrightarrow x=1$
Vậy thể tích khối chóp là $V=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.\dfrac{1}{2}AB.BC=\dfrac{1}{6}{{x}^{3}}=\dfrac{1}{6}$.