Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC,$ đáy là tam giác $ABC$ có $AB=a,AC=a\sqrt{2}$ và $\angle CAB={{135}^{0}},$ tam giác $SAB$ vuông tại $B$ và tam giác $SAC$ vuông tại $A.$ Biết góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAC \right)$ và $\left( SAB \right)$ bằng ${{30}^{0}}.$ Tính thể tích khối chóp $S.ABC.$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$
Cách giải:
Gọi D là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC).
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot SB\left( gt \right) \\
& AB\bot SD\left( SA\bot \left( ABC \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SBD \right)\Rightarrow AB\bot BD.$
$\left\{ \begin{aligned}
& AC\bot SA\left( gt \right) \\
& AC\bot SD\left( SD\bot \left( ABCD \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AC\bot \left( SAD \right)\Rightarrow AC\bot AD.$
Ta có:
$\begin{aligned}
& \angle BAC=\angle BAD+\angle DAC \\
& \Rightarrow {{135}^{0}}=\angle BAD+{{90}^{0}} \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow \angle BAD={{45}^{0}}$
$\Rightarrow \Delta ABD$ vuông cân tại $B\Rightarrow AD=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}=AC.$
$\Rightarrow \Delta ACD$ vuông cân tại A.
Ta có: $\angle BDC=\angle BDA+\angle ADC={{45}^{0}}+{{45}^{0}}={{90}^{0}}=\angle ABD$
$\Rightarrow ABDC$ là hình thang vuông tại $B$ và $D.$
Trong $\left( SBD \right)$ kẻ $DH\bot SB\left( H\in SB \right)$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& DH\bot SB \\
& DH\bot AB\left( AB\bot \left( SBD \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow DH\bot \left( SAB \right).$
Trong $\left( SAD \right)$ kẻ $DK\bot SA\left( K\in SA \right),$ ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& AC\bot AD\left( cmt \right) \\
& AC\bot SD\left( SD\bot \left( ABCD \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AC\bot \left( SAD \right)\Rightarrow AC\bot DK$
$\left\{ \begin{aligned}
& DK\bot SA \\
& DK\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow DK\bot \left( SAC \right)$
$\Rightarrow \angle \left( \left( SAB \right);\left( SAC \right) \right)=\angle \left( DH;DK \right)=\angle HDK={{30}^{0}}$ (do $DH\bot \left( SAB \right)\Rightarrow DH\bot HL\Rightarrow \Delta DHK$ vuông tại $H).$
Đặt $SD=x>0.$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
$DH=\dfrac{BD.SD}{\sqrt{B{{D}^{2}}+S{{D}^{2}}}}=\dfrac{ax}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}$
$DK=\dfrac{AD.SD}{\sqrt{A{{D}^{2}}+S{{D}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{2}.x}{\sqrt{2{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{2}.ax}{\sqrt{2{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}$
Xét tam giác vuông DHK có:
$\cos \angle HDK=\dfrac{DH}{DK}$
$\Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{ax}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}.\dfrac{\sqrt{2{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{\sqrt{2}.ax}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{2{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{\sqrt{2{{a}^{2}}+2{{x}^{2}}}}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 6{{a}^{2}}+6{{x}^{2}}=8{{a}^{2}}+4{{x}^{2}} \\
& \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}=2{{a}^{2}}\Leftrightarrow x=a. \\
\end{aligned}$
Ta có: ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \angle BAC=\dfrac{1}{2}.a.a\sqrt{2}.\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}.$
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SD.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}.$
Gọi D là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC).
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot SB\left( gt \right) \\
& AB\bot SD\left( SA\bot \left( ABC \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SBD \right)\Rightarrow AB\bot BD.$
$\left\{ \begin{aligned}
& AC\bot SA\left( gt \right) \\
& AC\bot SD\left( SD\bot \left( ABCD \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AC\bot \left( SAD \right)\Rightarrow AC\bot AD.$
Ta có:
$\begin{aligned}
& \angle BAC=\angle BAD+\angle DAC \\
& \Rightarrow {{135}^{0}}=\angle BAD+{{90}^{0}} \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow \angle BAD={{45}^{0}}$
$\Rightarrow \Delta ABD$ vuông cân tại $B\Rightarrow AD=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}=AC.$
$\Rightarrow \Delta ACD$ vuông cân tại A.
Ta có: $\angle BDC=\angle BDA+\angle ADC={{45}^{0}}+{{45}^{0}}={{90}^{0}}=\angle ABD$
$\Rightarrow ABDC$ là hình thang vuông tại $B$ và $D.$
Trong $\left( SBD \right)$ kẻ $DH\bot SB\left( H\in SB \right)$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& DH\bot SB \\
& DH\bot AB\left( AB\bot \left( SBD \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow DH\bot \left( SAB \right).$
Trong $\left( SAD \right)$ kẻ $DK\bot SA\left( K\in SA \right),$ ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& AC\bot AD\left( cmt \right) \\
& AC\bot SD\left( SD\bot \left( ABCD \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AC\bot \left( SAD \right)\Rightarrow AC\bot DK$
$\left\{ \begin{aligned}
& DK\bot SA \\
& DK\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow DK\bot \left( SAC \right)$
$\Rightarrow \angle \left( \left( SAB \right);\left( SAC \right) \right)=\angle \left( DH;DK \right)=\angle HDK={{30}^{0}}$ (do $DH\bot \left( SAB \right)\Rightarrow DH\bot HL\Rightarrow \Delta DHK$ vuông tại $H).$
Đặt $SD=x>0.$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
$DH=\dfrac{BD.SD}{\sqrt{B{{D}^{2}}+S{{D}^{2}}}}=\dfrac{ax}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}$
$DK=\dfrac{AD.SD}{\sqrt{A{{D}^{2}}+S{{D}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{2}.x}{\sqrt{2{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{2}.ax}{\sqrt{2{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}$
Xét tam giác vuông DHK có:
$\cos \angle HDK=\dfrac{DH}{DK}$
$\Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{ax}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}.\dfrac{\sqrt{2{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{\sqrt{2}.ax}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{2{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{\sqrt{2{{a}^{2}}+2{{x}^{2}}}}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 6{{a}^{2}}+6{{x}^{2}}=8{{a}^{2}}+4{{x}^{2}} \\
& \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}=2{{a}^{2}}\Leftrightarrow x=a. \\
\end{aligned}$
Ta có: ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \angle BAC=\dfrac{1}{2}.a.a\sqrt{2}.\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}.$
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SD.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}.$
Đáp án A.