Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $\widehat{ASB}=\widehat{ASC}$ $=\widehat{BSC}=60{}^\circ $ và $SA=2$ ; $SB=3$ ; $SC=7$. Tính thể tích $V$ của khối chóp.
A. $V=\dfrac{7\sqrt{2}}{3}$.
B. $V=4\sqrt{2}$.
C. $V=7\sqrt{2}$.
D. $V=\dfrac{7\sqrt{2}}{2}$.
A. $V=\dfrac{7\sqrt{2}}{3}$.
B. $V=4\sqrt{2}$.
C. $V=7\sqrt{2}$.
D. $V=\dfrac{7\sqrt{2}}{2}$.
Phương pháp:
Lấy lần lượt trên SA,SB,SC các điểm M,N,P sao cho SM=SN=SP=1. Sử dụng tỉ số thể tích.
Cách giải:
Lấy lần lượt trên SA, SB, SC các điểm M, N, P sao cho SM= SN= SP= 1
Khi đó các tam giác SMN, SNP, SMP là các tam giác đều cạnh 1.
⇒ MN= NP= MP= 1 . Khi đó ta có hình chóp đều S.MNP.
Gọi O là tâm của tam giác đều MNP⇒ S⊥(MNP) và $MO=\dfrac{2}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
Ta có $SO=\sqrt{S{{M}^{2}}-M{{O}^{2}}}=\sqrt{1-{{\left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
Diện tích tam giác đều MNP có cạnh bằng 1 là $S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
Khi đó ${{V}_{S.MNP}}=\dfrac{1}{3}.SO.{{S}_{MNP}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{6}}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{12}$.
Mặt khác $\dfrac{{{V}_{S.MNP}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SN}{SB}.\dfrac{SP}{SC}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{7}=\dfrac{1}{42}$
Vậy V ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{\sqrt{2}}{12}:\dfrac{1}{42}=\dfrac{7\sqrt{2}}{2}$
Lấy lần lượt trên SA,SB,SC các điểm M,N,P sao cho SM=SN=SP=1. Sử dụng tỉ số thể tích.
Cách giải:
Lấy lần lượt trên SA, SB, SC các điểm M, N, P sao cho SM= SN= SP= 1
Khi đó các tam giác SMN, SNP, SMP là các tam giác đều cạnh 1.
⇒ MN= NP= MP= 1 . Khi đó ta có hình chóp đều S.MNP.
Gọi O là tâm của tam giác đều MNP⇒ S⊥(MNP) và $MO=\dfrac{2}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
Ta có $SO=\sqrt{S{{M}^{2}}-M{{O}^{2}}}=\sqrt{1-{{\left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
Diện tích tam giác đều MNP có cạnh bằng 1 là $S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
Khi đó ${{V}_{S.MNP}}=\dfrac{1}{3}.SO.{{S}_{MNP}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{6}}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{12}$.
Mặt khác $\dfrac{{{V}_{S.MNP}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SN}{SB}.\dfrac{SP}{SC}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{7}=\dfrac{1}{42}$
Vậy V ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{\sqrt{2}}{12}:\dfrac{1}{42}=\dfrac{7\sqrt{2}}{2}$
Đáp án D.