Cho hình chóp S. ABC có thể tích bằng $1.$ Mặt phẳng $\left(Q \right)$ thay đổi song song với mặt phẳng $\left(ABC \right)$ lần lượt cắt các cạnh...

Đặt $\frac{SM}{SA}=k\left(0<k<1 \right)$. Vì $\left(MNP \right)\parallel \left(ABC \right)$ nên:
$\begin{aligned}
& \frac{SM}{SA}=\frac{MN}{AB}=\frac{SN}{SB}=\frac{NP}{BC}=\frac{SP}{SC}=\frac{PM}{CA}=k \\
& \Rightarrow {{S}_{MNP}}={{S}_{{M}'{N}'{P}'}}={{k}^{2}}.{{S}_{ABC}} \\
\end{aligned}$

Dựng $SH\bot \left(ABC \right)$ tại $H$, $MK\bot \left(ABC \right)$ tại K
Suy ra $MK\parallel SH\Rightarrow \frac{d\left(M;\left( ABC \right) \right)}{d\left(S;\left( ABC \right) \right)}=\frac{MK}{SH}=\frac{AM}{AS}=\frac{AS-M\text{S}}{AS}=1-k$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow d\left(M;\left( ABC \right) \right)=\left(1-k \right)d\left(S;\left( ABC \right) \right) \\
& \Rightarrow d\left(M;\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right)=\left(1-k \right)d\left(S;\left( ABC \right) \right) \\
\end{aligned}$
Lại có : $\begin{aligned}
& {{V}_{MNP.{M}'{N}'{P}'}}=d\left(M;\left( {M}'{N}'{P}' \right) \right).{{S}_{{M}'{N}'{P}'}}=\left(1-k \right)d\left(S;\left( ABC \right) \right){{k}^{2}}.{{S}_{ABC}} \\
& ={{k}^{2}}\left(1-k \right)3.\frac{1}{3}d\left(S;\left( ABC \right) \right).{{S}_{ABC}} \\
& {{V}_{MNP.{M}'{N}'{P}'}}={{k}^{2}}\left(1-k \right). 3{{V}_{S. ABC}}=3{{k}^{2}}\left(1-k \right)\left(0<k<1 \right) \\
\end{aligned}$
Cách 1(dùng hàm số):
Xét hàm số: $f\left(k \right)=3{{k}^{2}}\left(1-k \right)=3{{k}^{2}}-3{{k}^{3}}\left(0<k<1 \right)$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow {f}'\left(k \right)=6k-9{{k}^{2}} \\
& {f}'\left(k \right)=0\Leftrightarrow 3k\left(2-3k \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& k=0 \\
& k=\frac{2}{3} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Ta có BBT của $f\left(k \right)$ :

Từ BBT suy ra $\underset{\left(0; 1 \right)}{\mathop{\max }} f\left(k \right)=\frac{4}{9}$ nên GTLN của ${{V}_{MNP.{M}'{N}'{P}'}}$ là $\frac{4}{9}$.
Dấu $''=''$ xảy ra $\Leftrightarrow k=\frac{2}{3}\Leftrightarrow \frac{SM}{SA}=\frac{2}{3}.$
Cách 2(dùng BĐT Côsi):
${{V}_{MNP.{M}'{N}'{P}'}}=3{{k}^{2}}\left(1-k \right)\left(0<k<1 \right)$
Ta có $3{{k}^{2}}\left(1-k \right)=12.\frac{k}{2}.\frac{k}{2}\left(1-k \right)\le 12{{\left(\frac{\frac{k}{2}+\frac{k}{2}+1-k}{3} \right)}^{3}}=\frac{4}{9}.$
Dấu $''=''$ xảy ra $\Leftrightarrow \frac{k}{2}=1-k\Leftrightarrow k=\frac{2}{3}\Leftrightarrow \frac{SM}{SA}=\frac{2}{3}.$