Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$, $AC=a\sqrt{2}$, mặt phẳng $\left( SAC \right)$ vuông góc với mặt đáy $\left( ABC \right)$. Các mặt bên $\left( SAB \right),\left( SBC \right)$ tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng 60o. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC$.
A. $V=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}$.
B. $V=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}$.
C. $V=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{6}$.
D. $V=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{12}$.
Ta có: $\left( SAC \right)\bot \left( ABC \right)$ và $\left( SAC \right)\cap \left( ABC \right)=AC$.
Trong mặt phẳng (SAC), kẻ $SH\bot AC$ thì $SH\bot \left( ABC \right)$.
Gọi I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh AB và AC thì $\left( \widehat{\left( SAB \right),\left( ABC \right)} \right)=\widehat{SIH}$ và $\left( \widehat{\left( SAC \right),\left( ABC \right)} \right)=\widehat{SKH}$. Mà $\widehat{SIH}=\widehat{SKH}={{60}^{\circ }}$ nên $HI=HK$.
$\Rightarrow $ Tứ giác BIHK là hình vuông $\Rightarrow $ H là trung điểm cạnh AC.
Ta có: $AB=BC=\dfrac{AC}{\sqrt{2}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=a$. Khi đó tứ giác BIHK là hình vuông cạnh $\dfrac{a}{2}$.
$\Rightarrow SH=HI.\tan \widehat{SIH}=\dfrac{a}{2}.\tan {{60}^{\circ }}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.
A. $V=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}$.
B. $V=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}$.
C. $V=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{6}$.
D. $V=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{12}$.
Ta có: $\left( SAC \right)\bot \left( ABC \right)$ và $\left( SAC \right)\cap \left( ABC \right)=AC$.
Trong mặt phẳng (SAC), kẻ $SH\bot AC$ thì $SH\bot \left( ABC \right)$.
Gọi I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh AB và AC thì $\left( \widehat{\left( SAB \right),\left( ABC \right)} \right)=\widehat{SIH}$ và $\left( \widehat{\left( SAC \right),\left( ABC \right)} \right)=\widehat{SKH}$. Mà $\widehat{SIH}=\widehat{SKH}={{60}^{\circ }}$ nên $HI=HK$.
$\Rightarrow $ Tứ giác BIHK là hình vuông $\Rightarrow $ H là trung điểm cạnh AC.
Ta có: $AB=BC=\dfrac{AC}{\sqrt{2}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=a$. Khi đó tứ giác BIHK là hình vuông cạnh $\dfrac{a}{2}$.
$\Rightarrow SH=HI.\tan \widehat{SIH}=\dfrac{a}{2}.\tan {{60}^{\circ }}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.
Đáp án D.