Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=x,BC=y,AB=AC=SB=SC=1.$ Thể tích khối chóp $S.ABC$ lớn nhất khi tổng $x+y$ bằng

Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm $BC,SA$ nên $\{\begin{array}{rl}& BC\mathrm{\perp }AI\\ & BC\mathrm{\perp }SI\end{array}\Rightarrow BC\mathrm{\perp }\left(SAI\right).$
Hai tam giác cân $ABC,SBC$ bằng nhau nên $IA=IS$ suy ra $\mathrm{\Delta }ISA$ cân tại $I.$
Trong $\mathrm{\Delta }SBI$ vuông tại $I$ ta có $SI=\sqrt{S{B}^2-B{I}^2}=\sqrt{1^2-{\displaystyle \frac{y^2}{4}}}.$
Trong $\mathrm{\Delta }SAI$ cân tại $I$ ta có $IJ=\sqrt{S{I}^2-S{J}^2}=\sqrt{1^2-{\displaystyle \frac{y^2}{4}}-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}}.$
Khi đó thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V={\displaystyle \frac{1}{3}}.BC.S_{SAI}={\displaystyle \frac{1}{6}}.BC.SA.IJ={\displaystyle \frac{1}{6}}xy\sqrt{1-{\displaystyle \frac{y^2+x^4}{4}}}$
Ta có $x^2+y^2\ge 2xy,\mathrm{\forall }x,y\in \mathbb{R}\Rightarrow V\le {\displaystyle \frac{1}{6}}xy\sqrt{1-{\displaystyle \frac{xy}{2}}}$
$={\displaystyle \frac{1}{12}}\sqrt{xy}.\sqrt{xy}.\sqrt{4-2xy}\le {\displaystyle \frac{1}{12}}{\left({\displaystyle \frac{xy+xy+4-2xy}{3}}\right)}^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}\le {\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{27}}$
Dấy "=" xảy ra tại $x=y={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}$ suy ra $x+y={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}}}.$