Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=x,BC=y,AB=AC=SB=SC=1.$ Thể tích khối chóp $S.ABC$ lớn nhất khi tổng $x+y$ bằng

Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm $BC,SA$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AI \\
& BC\bot SI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAI \right).$
Hai tam giác cân $ABC,SBC$ bằng nhau nên $IA=IS$ suy ra $\Delta ISA$ cân tại $I.$
Trong $\Delta SBI$ vuông tại $I$ ta có $SI=\sqrt{S{{B}^{2}}-B{{I}^{2}}}=\sqrt{{{1}^{2}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{4}}.$
Trong $\Delta SAI$ cân tại $I$ ta có $IJ=\sqrt{S{{I}^{2}}-S{{J}^{2}}}=\sqrt{{{1}^{2}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{4}-\dfrac{{{x}^{2}}}{4}}.$
Khi đó thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V=\dfrac{1}{3}.BC.{{S}_{SAI}}=\dfrac{1}{6}.BC.SA.IJ=\dfrac{1}{6}xy\sqrt{1-\dfrac{{{y}^{2}}+{{x}^{4}}}{4}}$
Ta có ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 2xy,\forall x,y\in \mathbb{R}\Rightarrow V\le \dfrac{1}{6}xy\sqrt{1-\dfrac{xy}{2}}$
$=\dfrac{1}{12}\sqrt{xy}.\sqrt{xy}.\sqrt{4-2xy}\le \dfrac{1}{12}{{\left( \dfrac{xy+xy+4-2xy}{3} \right)}^{\dfrac{3}{2}}}\le \dfrac{2\sqrt{3}}{27}$
Dấy "=" xảy ra tại $x=y=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ suy ra $x+y=\dfrac{4}{\sqrt{3}}.$