Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$, $SA=a\sqrt{3}$, tam giác $ABC$ đều cạnh có độ dài bằng $a$. Gọi $\alpha =\left( AB,\left( SBC \right) \right)$, khi đó $\sin \alpha $ bằng:
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{5}$
B. $\dfrac{\sqrt{15}}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{5}}{3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{15}}{5}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $BC$. Kẻ $AH\bot SI,H\in SI$.
Vì tam giác $ABC$ đều nên $AI\bot BC$. Lại có $SA\bot BC$ nên $BC\bot \left( SAI \right)$.
Suy ra $BC\bot AH$. Vì $AH\bot SI$ nên $AH\bot \left( SBC \right)$
$\Rightarrow \alpha =\left( AB,\left( SBC \right) \right)=\left( AB,HB \right)=ABH$.
Ta có $AI$ là đường cao trong tam giác đều nên $AI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ ; $AH$ là đường cao trong tam giác vuông nên $AH=\dfrac{SA.AI}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{I}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
Tam giác AHB vuông tại H nên $\sin \alpha =\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}:a=\dfrac{\sqrt{15}}{5}$
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{5}$
B. $\dfrac{\sqrt{15}}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{5}}{3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{15}}{5}$.
Vì tam giác $ABC$ đều nên $AI\bot BC$. Lại có $SA\bot BC$ nên $BC\bot \left( SAI \right)$.
Suy ra $BC\bot AH$. Vì $AH\bot SI$ nên $AH\bot \left( SBC \right)$
$\Rightarrow \alpha =\left( AB,\left( SBC \right) \right)=\left( AB,HB \right)=ABH$.
Ta có $AI$ là đường cao trong tam giác đều nên $AI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ ; $AH$ là đường cao trong tam giác vuông nên $AH=\dfrac{SA.AI}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{I}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
Tam giác AHB vuông tại H nên $\sin \alpha =\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}:a=\dfrac{\sqrt{15}}{5}$
Đáp án D.