Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S. ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left(ABC \right)$, đáy là tam giác đều, $SA=\frac{3a}{2}$, $AB=a$ (tham khảo hình vẽ bên). Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left(SBC \right)$ và $\left(ABC \right)$.
..
A. ${{30}^{0}}$.
B. ${{45}^{0}}$.
C. ${{60}^{0}}$.
D. ${{90}^{0}}$.
Gọi $I$ là trung điểm $BC\Rightarrow AI\bot BC$.
Do $SA\bot \left(ABC \right)\Rightarrow SA\bot BC$ nên $\left(SAI \right)\bot BC$.
Mà $\left\{ \begin{aligned}
& \left(SBC \right)\cap \left(ABC \right)=BC \\
& \left(SAI \right)\cap \left(SBC \right)=SI \\
& \left(SAI \right)\cap \left(ABC \right)=AI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \widehat{\left(\left( SBC \right),\left(ABC \right) \right)}=\widehat{\left(SI, AI \right)}=\widehat{SIA}$.
$\Delta ABC$ đều cạnh $a\Rightarrow AI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ và $SA=\frac{3a}{2}$.
Do $\Delta SAI$ vuông tại $A$ nên
$\tan \widehat{S I A}=\frac{S A}{A I}=\sqrt{3} \Rightarrow \widehat{S I A}=60^{\circ}$
..
A. ${{30}^{0}}$.
B. ${{45}^{0}}$.
C. ${{60}^{0}}$.
D. ${{90}^{0}}$.
Gọi $I$ là trung điểm $BC\Rightarrow AI\bot BC$.
Do $SA\bot \left(ABC \right)\Rightarrow SA\bot BC$ nên $\left(SAI \right)\bot BC$.
Mà $\left\{ \begin{aligned}
& \left(SBC \right)\cap \left(ABC \right)=BC \\
& \left(SAI \right)\cap \left(SBC \right)=SI \\
& \left(SAI \right)\cap \left(ABC \right)=AI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \widehat{\left(\left( SBC \right),\left(ABC \right) \right)}=\widehat{\left(SI, AI \right)}=\widehat{SIA}$.
$\Delta ABC$ đều cạnh $a\Rightarrow AI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ và $SA=\frac{3a}{2}$.
Do $\Delta SAI$ vuông tại $A$ nên
$\tan \widehat{S I A}=\frac{S A}{A I}=\sqrt{3} \Rightarrow \widehat{S I A}=60^{\circ}$
Đáp án C.