Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S. ABC$ có $SA$ vuông góc với đáy, đáy là tam giác đều, $SA=a\sqrt{3}$ và góc giữa đường thẳng $SB$ và đáy bằng ${{60}^{0}}$. Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB, SC$. Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm $A, B, H, K.$
A. $\dfrac{a}{2}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Gọi $AD$ là đường kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ $\left(1 \right)$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& DB\bot AB \\
& DB\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow DB\bot \left(SAB \right)\Rightarrow DB\bot AH$,
$\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SB \\
& AH\bot DB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left(SBD \right)\Rightarrow AH\bot HD\left(2 \right)$
Tương tự ta cũng có $AK\bot KD\left(3 \right)$
Từ $\left(1 \right),\left(2 \right),\left(3 \right)$ suy ra $4$ điểm $A, B, H, K$ cùng nằm trên mặt cầu đường kính $AD$.
Góc giữa đường thẳng $SB$ và đáy bằng ${{60}^{0}}$ hay góc $\left(SB, AB \right)={{60}^{0}}$.
Trong tam giác vuông $SAB$ có $AB=\dfrac{SA}{\tan {{60}^{0}}}=a$.
Gọi $O$ là trung điểm $AD$ thì $O$ cũng là tâm tam giác đều $ABC$ cạnh $a$. Khi đó, bán kính mặt cầu đi qua các điểm $A, B, H, K$ là $R=AO=\dfrac{2}{3}\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
A. $\dfrac{a}{2}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Gọi $AD$ là đường kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ $\left(1 \right)$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& DB\bot AB \\
& DB\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow DB\bot \left(SAB \right)\Rightarrow DB\bot AH$,
$\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SB \\
& AH\bot DB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left(SBD \right)\Rightarrow AH\bot HD\left(2 \right)$
Tương tự ta cũng có $AK\bot KD\left(3 \right)$
Từ $\left(1 \right),\left(2 \right),\left(3 \right)$ suy ra $4$ điểm $A, B, H, K$ cùng nằm trên mặt cầu đường kính $AD$.
Góc giữa đường thẳng $SB$ và đáy bằng ${{60}^{0}}$ hay góc $\left(SB, AB \right)={{60}^{0}}$.
Trong tam giác vuông $SAB$ có $AB=\dfrac{SA}{\tan {{60}^{0}}}=a$.
Gọi $O$ là trung điểm $AD$ thì $O$ cũng là tâm tam giác đều $ABC$ cạnh $a$. Khi đó, bán kính mặt cầu đi qua các điểm $A, B, H, K$ là $R=AO=\dfrac{2}{3}\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Đáp án D.