Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S. ABC$, có $SA$ vuông góc với đáy, $AB=3, AC=2,\widehat{BAC}=60{}^\circ $. Gọi $M, N$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $SB, SC$. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $A. BCNM$.
A. $R=\sqrt{2}$.
B. $R=\dfrac{\sqrt{21}}{3}$.
C. $R=\dfrac{4}{\sqrt{3}}$.
D. $R=1$.
+ Kẻ đường kính $AK$ của đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
+ $\left\{ \begin{aligned}
& BK\bot AB \\
& BK\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BK\bot \left( SAB \right) $ $ \Rightarrow $ $ BK\bot AM$.
+) $\left\{ \begin{aligned}
& AM\bot SB \\
& AM\bot BK \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow AM\bot \left( SBK \right)\Rightarrow AM\bot MK$ (1).
+ Chứng minh tương tự ta có $AN\bot NK$ (2).
+) Từ (1) và (2) ta thấy $M,N,B,C$ cùng nhìn đoạn $AK$ dưới một vuông. Vậy $AK$ là đường kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $A.BCNM$. Do đó bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $A.BCNM$ bằng bán kính của đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
Áp dụng định lý Côsin trong $\Delta ABC$ . $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC.\cos \widehat{BAC}$ $\Rightarrow $ $BC=\sqrt{7}$.
Áp dụng định lý Sin trong $\Delta ABC$ . $\dfrac{BC}{\sin A}=2R$ $\Rightarrow R=\dfrac{BC}{2.\sin A}=\dfrac{\sqrt{21}}{3}$.
A. $R=\sqrt{2}$.
B. $R=\dfrac{\sqrt{21}}{3}$.
C. $R=\dfrac{4}{\sqrt{3}}$.
D. $R=1$.
+ Kẻ đường kính $AK$ của đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
+ $\left\{ \begin{aligned}
& BK\bot AB \\
& BK\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BK\bot \left( SAB \right) $ $ \Rightarrow $ $ BK\bot AM$.
+) $\left\{ \begin{aligned}
& AM\bot SB \\
& AM\bot BK \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow AM\bot \left( SBK \right)\Rightarrow AM\bot MK$ (1).
+ Chứng minh tương tự ta có $AN\bot NK$ (2).
+) Từ (1) và (2) ta thấy $M,N,B,C$ cùng nhìn đoạn $AK$ dưới một vuông. Vậy $AK$ là đường kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $A.BCNM$. Do đó bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $A.BCNM$ bằng bán kính của đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
Áp dụng định lý Côsin trong $\Delta ABC$ . $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC.\cos \widehat{BAC}$ $\Rightarrow $ $BC=\sqrt{7}$.
Áp dụng định lý Sin trong $\Delta ABC$ . $\dfrac{BC}{\sin A}=2R$ $\Rightarrow R=\dfrac{BC}{2.\sin A}=\dfrac{\sqrt{21}}{3}$.
Đáp án B.