Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S. ABC$ có $SA=SB=SC=a\sqrt{3}, AB=AC=2a, BC=3a$. Tính thể tích của khối chóp $S. ABC$.
A. $\dfrac{\sqrt{5}{{a}^{3}}}{2}$.
B. $\dfrac{\sqrt{35}{{a}^{3}}}{2}$.
C. $\dfrac{\sqrt{35}{{a}^{3}}}{6}$.
D. $\dfrac{\sqrt{5}{{a}^{3}}}{4}$.
Hạ $SH\bot \left( ABC \right)$ tại $H$.
$SA=SB=SC$ $\Rightarrow \Delta SAH=\Delta SBH=\Delta SCH\Rightarrow AH=BH=CH$
$\Rightarrow H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
Gọi $p,R$ lần lượt là nửa chu vi và bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
$\begin{aligned}
& p=\dfrac{AB+AC+BC}{2}=\dfrac{7a}{2} \\
& {{S}_{ABC}}=\sqrt{p.\left( p-AB \right).\left( p-AC \right).\left( p-BC \right)}=\sqrt{\dfrac{7a}{2}.\dfrac{3a}{2}.\dfrac{3a}{2}.\dfrac{a}{2}}=\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{7}}{4} \\
\end{aligned}$
$AH=R=\dfrac{AB.AC.BC}{4.{{S}_{ABC}}}=\dfrac{2a.2a.3a}{3{{a}^{2}}\sqrt{7}}=\dfrac{4a\sqrt{7}}{7}$.
$\Delta SAH$ vuông tại $H$ có $SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-\dfrac{16{{a}^{2}}}{7}}=\dfrac{a\sqrt{35}}{7}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là ${{V}_{SABC}}=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{7}}{4}.\dfrac{a\sqrt{35}}{7}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{4}$.
A. $\dfrac{\sqrt{5}{{a}^{3}}}{2}$.
B. $\dfrac{\sqrt{35}{{a}^{3}}}{2}$.
C. $\dfrac{\sqrt{35}{{a}^{3}}}{6}$.
D. $\dfrac{\sqrt{5}{{a}^{3}}}{4}$.
Hạ $SH\bot \left( ABC \right)$ tại $H$.
$SA=SB=SC$ $\Rightarrow \Delta SAH=\Delta SBH=\Delta SCH\Rightarrow AH=BH=CH$
$\Rightarrow H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
Gọi $p,R$ lần lượt là nửa chu vi và bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
$\begin{aligned}
& p=\dfrac{AB+AC+BC}{2}=\dfrac{7a}{2} \\
& {{S}_{ABC}}=\sqrt{p.\left( p-AB \right).\left( p-AC \right).\left( p-BC \right)}=\sqrt{\dfrac{7a}{2}.\dfrac{3a}{2}.\dfrac{3a}{2}.\dfrac{a}{2}}=\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{7}}{4} \\
\end{aligned}$
$AH=R=\dfrac{AB.AC.BC}{4.{{S}_{ABC}}}=\dfrac{2a.2a.3a}{3{{a}^{2}}\sqrt{7}}=\dfrac{4a\sqrt{7}}{7}$.
$\Delta SAH$ vuông tại $H$ có $SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-\dfrac{16{{a}^{2}}}{7}}=\dfrac{a\sqrt{35}}{7}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là ${{V}_{SABC}}=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{7}}{4}.\dfrac{a\sqrt{35}}{7}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{4}$.
Đáp án D.