Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\bot \left( ABC \right)$, $SA=a\sqrt{3}$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có $AC=2a$, $BC=a$. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng
A. $60{}^\circ $.
B. $90{}^\circ $.
C. $30{}^\circ $.
D. $45{}^\circ $.
Ta có $SB\cap \left( ABC \right)=\left\{ B \right\}$.
$SA\bot \left( ABC \right)$ $\Rightarrow AB$ là hình chiếu vuông góc của $SB$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right).$
$\Rightarrow $ Góc giữa $SB$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là $\widehat{SBA}$.
Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B$ có $AB$ $=\sqrt{A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}$ $=\sqrt{4{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}$ $=a\sqrt{3}$.
$\Delta SAB$ vuông tại $A$ có $SA=AB$ $\Rightarrow \Delta SAB$ vuông cân tại $A$ $\Rightarrow \widehat{SBA}=45{}^\circ $.
Vậy góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng $45{}^\circ $.
A. $60{}^\circ $.
B. $90{}^\circ $.
C. $30{}^\circ $.
D. $45{}^\circ $.
Ta có $SB\cap \left( ABC \right)=\left\{ B \right\}$.
$SA\bot \left( ABC \right)$ $\Rightarrow AB$ là hình chiếu vuông góc của $SB$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right).$
$\Rightarrow $ Góc giữa $SB$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là $\widehat{SBA}$.
Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B$ có $AB$ $=\sqrt{A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}$ $=\sqrt{4{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}$ $=a\sqrt{3}$.
$\Delta SAB$ vuông tại $A$ có $SA=AB$ $\Rightarrow \Delta SAB$ vuông cân tại $A$ $\Rightarrow \widehat{SBA}=45{}^\circ $.
Vậy góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng $45{}^\circ $.
Đáp án D.