Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\bot \left( ABC \right), SB=a\sqrt{2}$, hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SBC \right)$ vuông góc với nhau. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( SAB \right)$ bằng ${{45}^{0}}$, góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng đáy $\left( ABC \right)$ bằng $\alpha \left( {{0}^{0}}<\alpha <{{90}^{0}} \right)$. Thể tích lớn nhất của khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
D. ${{a}^{3}}\sqrt{2}$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow \left( SAB \right)\bot \left( ABC \right) \\
& \left( SAB \right)\bot \left( SBC \right) \\
& \left( ABC \right)\cap \left( SBC \right)=BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow \left( SC,\left( SAB \right) \right)=\left( SC,SB \right)=\widehat{BSC}\Rightarrow \widehat{BSC}={{45}^{0}}$
$\Rightarrow BC=SB=a\sqrt{2}$. $BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot AB.$
$SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow \left( SB,\left( ABC \right) \right)=\left( SB,AB \right)=\widehat{SBA}\Rightarrow \widehat{SBA}=\alpha $
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.SA.\dfrac{1}{2}.AB.BC=\dfrac{1}{6}SB.\sin \alpha .SB.\cos \alpha .BC=\dfrac{1}{6}.\dfrac{1}{2}\sin 2\alpha .2\sqrt{2}{{a}^{3}}\le \dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \sin 2\alpha =1\Leftrightarrow 2\alpha ={{90}^{0}}\Leftrightarrow \alpha ={{45}^{0}}$.
Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ đạt giá trị lớn nhất là $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
D. ${{a}^{3}}\sqrt{2}$.
& SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow \left( SAB \right)\bot \left( ABC \right) \\
& \left( SAB \right)\bot \left( SBC \right) \\
& \left( ABC \right)\cap \left( SBC \right)=BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow \left( SC,\left( SAB \right) \right)=\left( SC,SB \right)=\widehat{BSC}\Rightarrow \widehat{BSC}={{45}^{0}}$
$\Rightarrow BC=SB=a\sqrt{2}$. $BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot AB.$
$SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow \left( SB,\left( ABC \right) \right)=\left( SB,AB \right)=\widehat{SBA}\Rightarrow \widehat{SBA}=\alpha $
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.SA.\dfrac{1}{2}.AB.BC=\dfrac{1}{6}SB.\sin \alpha .SB.\cos \alpha .BC=\dfrac{1}{6}.\dfrac{1}{2}\sin 2\alpha .2\sqrt{2}{{a}^{3}}\le \dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \sin 2\alpha =1\Leftrightarrow 2\alpha ={{90}^{0}}\Leftrightarrow \alpha ={{45}^{0}}$.
Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ đạt giá trị lớn nhất là $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
Đáp án A.