Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\bot \left( ABC \right), AB=\sqrt{3}, AC=2$ và $\widehat{BAC}={{30}^{0}}.$ Gọi $M, N$ lần lượt là hình chiếu của $A$ trên $SB, SC.$ Bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $A.BCNM$ là
A. $R=2.$
B. $R=\sqrt{13}.$
C. $R=1.$
D. $R=\sqrt{2}.$
Trong tam giác $ABC,$ ta có $BC=1.$
Do đó tam giác $ABC$ vuông tại $B.$ (1)
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& CB\bot AB \\
& CB\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CB\bot \left( SAB \right)\Rightarrow AM\bot CB$
$\left\{ \begin{aligned}
& AM\bot CB \\
& AM\bot SB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AM\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AM\bot MC\Rightarrow \Delta AMC $ vuông tại $ M.$(2)
Tam giác $ANC$ vuông tại $N.$ (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra mặt cầu tâm $I,$ bán kính $R=IC$ ( $I$ là trung điểm của $AC )$ ngoại tiếp hình chóp $A.BCNM\Rightarrow R=1.$
A. $R=2.$
B. $R=\sqrt{13}.$
C. $R=1.$
D. $R=\sqrt{2}.$
Trong tam giác $ABC,$ ta có $BC=1.$
Do đó tam giác $ABC$ vuông tại $B.$ (1)
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& CB\bot AB \\
& CB\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CB\bot \left( SAB \right)\Rightarrow AM\bot CB$
$\left\{ \begin{aligned}
& AM\bot CB \\
& AM\bot SB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AM\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AM\bot MC\Rightarrow \Delta AMC $ vuông tại $ M.$(2)
Tam giác $ANC$ vuông tại $N.$ (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra mặt cầu tâm $I,$ bán kính $R=IC$ ( $I$ là trung điểm của $AC )$ ngoại tiếp hình chóp $A.BCNM\Rightarrow R=1.$
Đáp án C.