Cho hình chóp S. ABC có $SA\bot \left( ABC \right),AB=\sqrt{3},AC=2,\angle BAC={{30}^{0}}.$ Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Bán...

Phương pháp
- Sử dụng định lý Cosin trong tam giác tính độ dài cạnh BC, từ đó sử dụng định lý Pytago đảo chứng minh $\Delta ABC$
- Gọi I là trung điểm AC, chứng minh $IA=IB=IC=IM=IN$ và suy ra bán kính mặt cầu
Cách giải:

Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ABC ta có:
$B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC.\cos \angle BAC$
$B{{C}^{2}}={{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}+{{2}^{2}}-2.\sqrt{3}.2.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=1\Rightarrow BC=1$
$\Rightarrow A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}$
$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại B (định lsy Pytago)
Gọi I là trung điểm của $AC\Rightarrow I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, do đó $IA=IB=IC\left( 1 \right)$
Gọi H là trung điểm của AB ta có: $IH\bot AB$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& IH\bot AB \\
& IH\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow IH\bot \left( SAB \right)\Rightarrow IH\bot \left( ABM \right)$
Lại có: $\Delta ABM$ vuông tại M, có H là trung điểm của cạnh huyền AB nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABM$
$\Rightarrow IH$ là trục của $\Delta ABM$ $\Rightarrow IA=IB=IM\left( 2 \right)$
$\Delta ACN$ vuông tại N có I là trung điểm cạnh huyền BC nên $IA=IC=IN\left( 3 \right)$
Từ (1)(2)(3) ta suy ra $IA=IB=IC=IM=IN$ hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp A. BCNM, bán kính khối cầu là $R=IA=\dfrac{1}{2}AC=1$