Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\bot (ABC)$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $H$ là trung điểm của $AM$. Biết $HB=HC=a,\ \widehat{HBC}={{30}^{\text{o}}}$ ; góc giữa mặt phẳng $\left( SHC \right)$ và $\left( HBC \right)$ bằng ${{60}^{\text{o}}}$. Tính cosin của góc giữa đường thẳng $BC$ và $\left( SHC \right)$.
A. $\dfrac{3}{4}$.
B. $\dfrac{\sqrt{13}}{4}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
D. $\dfrac{1}{4}$.
Gọi $N=CH\cap AB$, kẻ $AE\bot NC$ tại $E$ và $AK\bot SE$ tại $K$.
Ta có góc giữa $\left( SHC \right)$ và $\left( HBC \right)$ là góc $\widehat{SEA}={{60}^{o}}$ và $d\left( A,\left( SHC \right) \right)=AK$.
Tam giác $HBC$ cân tại $H$ $\Rightarrow \Delta BHM$ vuông tại $M$ lại có $\widehat{HBM}={{30}^{o}}$ $\Rightarrow HM=\dfrac{BH}{2}=\dfrac{a}{2}\Rightarrow AM=a$ và $BM=\sqrt{B{{H}^{2}}-H{{M}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow BC=a\sqrt{3}$.
Tam giác $ABC$ cân tại $A$ (vì $AM$ vừa là trung tuyến vừa là đường cao).
Ta có $A{{M}^{2}}=\dfrac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}{2}-\dfrac{B{{C}^{2}}}{4}\Rightarrow AB=AC=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}$ $\Rightarrow \cos \widehat{BAC}=\dfrac{1}{7}\Rightarrow \sin \widehat{BAC}=\dfrac{4\sqrt{3}}{7}$.
Tam giác $ABM$ có $\dfrac{NA}{NB}.\dfrac{BC}{CM}.\dfrac{MH}{HA}=1\Rightarrow \dfrac{NA}{NB}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
NA=\dfrac{a\sqrt{7}}{6} \\
d\left( B,\left( SHC \right) \right)=2d\left( A,\left( SHC \right) \right)=2AK \\
\end{matrix} \right.$.
Ta có $NC=\sqrt{N{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}-2NAAC.\cos \overset\frown{NAC}}=\dfrac{4a}{3}$ ; ${{S}_{NAC}}=\dfrac{1}{2}NA.AC.\sin \widehat{NAC}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{6}$ $\Rightarrow AE=\dfrac{2{{S}_{NAC}}}{NC}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Tam giác $AKE$ vuông tại $K$ $\Rightarrow \sin \widehat{AKE}=\dfrac{AK}{AE}\Rightarrow AK=\dfrac{3a}{8}\Rightarrow d\left( B,\left( SHC \right) \right)=\dfrac{3a}{4}$.
Gọi $\alpha $ là góc giữa $BC$ và $\left( SHC \right)$ $\Rightarrow \sin \alpha =\dfrac{d\left( B,\left( SHC \right) \right)}{BC}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\Rightarrow \cos \alpha =\dfrac{\sqrt{13}}{4}$.
A. $\dfrac{3}{4}$.
B. $\dfrac{\sqrt{13}}{4}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
D. $\dfrac{1}{4}$.
Gọi $N=CH\cap AB$, kẻ $AE\bot NC$ tại $E$ và $AK\bot SE$ tại $K$.
Ta có góc giữa $\left( SHC \right)$ và $\left( HBC \right)$ là góc $\widehat{SEA}={{60}^{o}}$ và $d\left( A,\left( SHC \right) \right)=AK$.
Tam giác $HBC$ cân tại $H$ $\Rightarrow \Delta BHM$ vuông tại $M$ lại có $\widehat{HBM}={{30}^{o}}$ $\Rightarrow HM=\dfrac{BH}{2}=\dfrac{a}{2}\Rightarrow AM=a$ và $BM=\sqrt{B{{H}^{2}}-H{{M}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow BC=a\sqrt{3}$.
Tam giác $ABC$ cân tại $A$ (vì $AM$ vừa là trung tuyến vừa là đường cao).
Ta có $A{{M}^{2}}=\dfrac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}{2}-\dfrac{B{{C}^{2}}}{4}\Rightarrow AB=AC=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}$ $\Rightarrow \cos \widehat{BAC}=\dfrac{1}{7}\Rightarrow \sin \widehat{BAC}=\dfrac{4\sqrt{3}}{7}$.
Tam giác $ABM$ có $\dfrac{NA}{NB}.\dfrac{BC}{CM}.\dfrac{MH}{HA}=1\Rightarrow \dfrac{NA}{NB}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
NA=\dfrac{a\sqrt{7}}{6} \\
d\left( B,\left( SHC \right) \right)=2d\left( A,\left( SHC \right) \right)=2AK \\
\end{matrix} \right.$.
Ta có $NC=\sqrt{N{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}-2NAAC.\cos \overset\frown{NAC}}=\dfrac{4a}{3}$ ; ${{S}_{NAC}}=\dfrac{1}{2}NA.AC.\sin \widehat{NAC}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{6}$ $\Rightarrow AE=\dfrac{2{{S}_{NAC}}}{NC}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Tam giác $AKE$ vuông tại $K$ $\Rightarrow \sin \widehat{AKE}=\dfrac{AK}{AE}\Rightarrow AK=\dfrac{3a}{8}\Rightarrow d\left( B,\left( SHC \right) \right)=\dfrac{3a}{4}$.
Gọi $\alpha $ là góc giữa $BC$ và $\left( SHC \right)$ $\Rightarrow \sin \alpha =\dfrac{d\left( B,\left( SHC \right) \right)}{BC}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\Rightarrow \cos \alpha =\dfrac{\sqrt{13}}{4}$.
Đáp án B.