Cho hình chóp S. ABC có $SA=a,$ tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ...

Phương pháp:
- Gọi H là trung điểm của AB, chứng minh $SH\bot \left( ABC \right)$
- Sử dụng phương pháp đối đỉnh, đổi sang tính khoảng cách từ H đến (SAC)
- Sử dụng phương pháp 3 nét để đựng khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên
- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách
Cách giải:

Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB vuông cân tại S nên $SH\bot AB$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABC \right)=AB \\
& SH\subset \left( SAB \right),SH\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)$
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, AM. Do tam giác ABC đều nên $BM\bot AC$ mà $HN//BM$ (do HN là đường trung bình của tam giác ABM) $\Rightarrow HN\bot AC$
Trong (SHN) kẻ $HK\bot SN\left( K\in SN \right)$ ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& AC\bot HN \\
& AC\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AC\bot \left( SHN \right)\Rightarrow AC\bot HK$
$\left\{ \begin{aligned}
& HK\bot SN \\
& HK\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow HK\bot \left( SAC \right)$
$\Rightarrow d\left( H,\left( SAC \right) \right)=HK$
Lại có: $BH\cap \left( SAC \right)=A\Rightarrow \dfrac{d\left( B,\left( SAC \right) \right)}{d\left( H,\left( SAC \right) \right)}=\dfrac{BA}{HA}=2$
$\Rightarrow d\left( B,\left( SAC \right) \right)=2d\left( H,\left( SAC \right) \right)=2HK$
Tam giác SAB vuông cân tại S có $SA=a\Rightarrow AB=SA\sqrt{2}=a\sqrt{2}$ và $SH=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow $ Tam giác ABC đều cạnh $a\sqrt{2}$ $\Rightarrow BM=a\sqrt{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\Rightarrow HN=\dfrac{1}{2}BM=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHN có: $HK=\dfrac{SH.HN}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{N}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\dfrac{a\sqrt{6}}{4}}{\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}}{2}+\dfrac{3{{a}^{2}}}{8}}}=\dfrac{a\sqrt{42}}{14}$
Vậy $d\left( B,\left( SAC \right) \right)=2HK=\dfrac{a\sqrt{42}}{7}$