Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=a,SB=2a,SC=4a$ và $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}={{60}^{0}}.$ Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ theo $a.$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
B. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
C. $\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
Gọi $D$ là trung điểm $SB$, ta có $SD=\dfrac{1}{2}AB=a.$
Gọi $E$ là điểm trên cạnh $SC$ sao cho $SE=\dfrac{1}{4}SC,$ ta có $SE=\dfrac{1}{4}SC=a.$
Vì $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}={{60}^{0}}$ và $SA=SE=SD=a$ nên $SAED$ là tứ diện đều cạnh $a$.
Tứ diện đều $SAED$ có ${{S}_{ADE}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4},SH=\sqrt{S{{E}^{2}}-E{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.$
${{V}_{SAED}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ADE}}.SH=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.$
Mặt khác, $\dfrac{{{V}_{SAED}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SD}{SB}.\dfrac{SE}{SC}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}.$ Vậy ${{V}_{S.ABC}}=8{{V}_{SAED}}=8.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
B. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
C. $\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
Gọi $D$ là trung điểm $SB$, ta có $SD=\dfrac{1}{2}AB=a.$
Gọi $E$ là điểm trên cạnh $SC$ sao cho $SE=\dfrac{1}{4}SC,$ ta có $SE=\dfrac{1}{4}SC=a.$
Vì $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}={{60}^{0}}$ và $SA=SE=SD=a$ nên $SAED$ là tứ diện đều cạnh $a$.
Tứ diện đều $SAED$ có ${{S}_{ADE}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4},SH=\sqrt{S{{E}^{2}}-E{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.$
${{V}_{SAED}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ADE}}.SH=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.$
Mặt khác, $\dfrac{{{V}_{SAED}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SD}{SB}.\dfrac{SE}{SC}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}.$ Vậy ${{V}_{S.ABC}}=8{{V}_{SAED}}=8.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
Đáp án D.