Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A = a, S B = 2 a, S C = 4 a$ và $\hat{A S B} = \hat{B S C} = \hat{C S A} = 60^{0} .$ Tính thể tích khối chóp $S . A B C$ theo $a .$

The Collectors · 31/5/21

Câu hỏi: Cho hình chóp

S . A B C

có

S A = a, S B = 2 a, S C = 4 a

và

\hat{A S B} = \hat{B S C} = \hat{C S A} = 60^{0} .

Tính thể tích khối chóp

S . A B C

theo

a .

A.

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{3} .

B.

\frac{8 a^{3} \sqrt{2}}{3} .

C.

\frac{4 a^{3} \sqrt{2}}{3} .

D.

\frac{2 a^{3} \sqrt{2}}{3} .

Gọi

D

là trung điểm

S B

, ta có

S D = \frac{1}{2} A B = a .

Gọi

E

là điểm trên cạnh

S C

sao cho

S E = \frac{1}{4} S C,

ta có

S E = \frac{1}{4} S C = a .

Vì

\hat{A S B} = \hat{B S C} = \hat{C S A} = 60^{0}

và

S A = S E = S D = a

nên

S A E D

là tứ diện đều cạnh

a

.
Tứ diện đều

S A E D

có

S_{A D E} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}, S H = \sqrt{S E^{2} - E H^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{2}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{3} .

V_{S A E D} = \frac{1}{3} . S_{A D E} . S H = \frac{1}{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . \frac{a \sqrt{6}}{3} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} .

Mặt khác,

\frac{V_{S A E D}}{V_{S . A B C}} = \frac{S D}{S B} . \frac{S E}{S C} = \frac{1}{2} . \frac{1}{4} = \frac{1}{8} .

Vậy

V_{S . A B C} = 8 V_{S A E D} = 8. \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} = \frac{2 a^{3} \sqrt{2}}{3} .

Đáp án D.

Cho hình chóp S.ABC có SA=a,SB=2a,SC=4a và ASB^=BSC^=CSA^=600. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.