Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=4,AB=2,AC=1$ và $SA\bot \left( ABC \right)$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$ Mặt cầu tâm $O,$ đi qua $A$ và cắt các tia $SB,SC$ lần lượt tại $D$ và $E.$ Khi độ dài đoạn thẳng $BC$ thay đổi, giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp $S.ADE$ là:
A. $\dfrac{64}{85}$
B. $\dfrac{8}{3}$
C. $\dfrac{4}{3}$
D. $\dfrac{256}{255}$
A. $\dfrac{64}{85}$
B. $\dfrac{8}{3}$
C. $\dfrac{4}{3}$
D. $\dfrac{256}{255}$
Cách giải:
Kẻ đường kính $AM$ của $\left( O \right).$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BM\bot AB \\
& BM\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BM\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BM\bot AD.$
Lại có $AD\bot DM$ (góc nội tiếp chắn nửa mặt cầu) $\Rightarrow AD\bot \left( SBM \right)\Rightarrow AD\bot SB.$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có $\dfrac{SD}{SB}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\dfrac{{{4}^{2}}}{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}=\dfrac{4}{5}.$
Ta có $AD\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AD\bot DE\Rightarrow \Delta ADE$ vuông tại $D.$
Chứng minh tương tự ta có $AE\bot \left( SCM \right)\Rightarrow AE\bot SC.$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có $\dfrac{SE}{SC}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{S{{C}^{2}}}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\dfrac{{{4}^{2}}}{{{4}^{2}}+{{1}^{2}}}=\dfrac{16}{17}.$
Khi đó ta có $\dfrac{{{V}_{S.ADE}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SD}{SB}.\dfrac{SE}{SC}=\dfrac{4}{5}.\dfrac{16}{17}=\dfrac{64}{85}\Rightarrow {{V}_{S.ADE}}=\dfrac{64}{85}{{V}_{S.ABC}}.$
Do đó ${{V}_{S.ADE}}$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi ${{V}_{S.ABC}}$ đạt giá trị lớn nhất.
Ta có ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{6}SA.AB.SC.\sin \angle BAC=\dfrac{1}{6}.4.2.1.\sin \angle BAC=\dfrac{4}{3}\sin \angle BAC$ đạt giá trị lớn nhất khi $\sin \angle BAC=1\Leftrightarrow \angle BAC={{90}^{0}}.$
Khi đó $\max {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{4}{3}\Rightarrow \max {{V}_{S.ADE}}=\dfrac{256}{255}.$
Kẻ đường kính $AM$ của $\left( O \right).$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BM\bot AB \\
& BM\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BM\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BM\bot AD.$
Lại có $AD\bot DM$ (góc nội tiếp chắn nửa mặt cầu) $\Rightarrow AD\bot \left( SBM \right)\Rightarrow AD\bot SB.$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có $\dfrac{SD}{SB}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\dfrac{{{4}^{2}}}{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}=\dfrac{4}{5}.$
Ta có $AD\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AD\bot DE\Rightarrow \Delta ADE$ vuông tại $D.$
Chứng minh tương tự ta có $AE\bot \left( SCM \right)\Rightarrow AE\bot SC.$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có $\dfrac{SE}{SC}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{S{{C}^{2}}}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\dfrac{{{4}^{2}}}{{{4}^{2}}+{{1}^{2}}}=\dfrac{16}{17}.$
Khi đó ta có $\dfrac{{{V}_{S.ADE}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SD}{SB}.\dfrac{SE}{SC}=\dfrac{4}{5}.\dfrac{16}{17}=\dfrac{64}{85}\Rightarrow {{V}_{S.ADE}}=\dfrac{64}{85}{{V}_{S.ABC}}.$
Do đó ${{V}_{S.ADE}}$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi ${{V}_{S.ABC}}$ đạt giá trị lớn nhất.
Ta có ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{6}SA.AB.SC.\sin \angle BAC=\dfrac{1}{6}.4.2.1.\sin \angle BAC=\dfrac{4}{3}\sin \angle BAC$ đạt giá trị lớn nhất khi $\sin \angle BAC=1\Leftrightarrow \angle BAC={{90}^{0}}.$
Khi đó $\max {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{4}{3}\Rightarrow \max {{V}_{S.ADE}}=\dfrac{256}{255}.$
Đáp án D.