Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=2a,SB=3a,SC=4a$ và $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}={{60}^{0}},\widehat{ASC}={{90}^{0}}.$ Tính thể tích $V$ của khối chóp...

Lấy điểm $M,N$ lần lượt thuộc cạnh $SB,SC$ sao cho $SM=SN=2a.$ Suy ra tam giác $SAM,SMN$ đều cạnh có độ dài $2a,$ tam giác $SAN$ vuông cân tại $S$ và $AN=2a\sqrt{2}.$
Trong tam giác $AMN$ có $A{{M}^{2}}+M{{N}^{2}}=A{{N}^{2}}$ và $AM=MN$ nên tam giác $AMN$ vuông cân tại $M.$
Từ $S$ hạ $SH\bot AN$ tại $H$ suy ra $H$ là trung điểm $AN,MH=a\sqrt{2}$ và $SH=a\sqrt{2}.$
Trong tam giác $SHM$ ta có $M{{H}^{2}}+S{{H}^{2}}={{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}=4{{a}^{2}}=S{{M}^{2}}$ nên tam giác $SHM$ vuông tại $H.$ Suy ra có $\left. \begin{aligned}
& SH\bot AM \\
& SH\bot HM \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow SH\bot \left( AMN \right) $ tại $ H.$
${{V}_{SAMN}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{AMN}}.SH=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.2a.2a.a\sqrt{2}=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
$\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=3{{V}_{S.AMN}}=3\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}=2{{a}^{3}}\sqrt{2}.$