Cho hình chóp $S.ABC$ có mặt đáy là tam giác đều cạnh bằng 2 và hình chiếu $S$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là điểm $H$ nằm trong tam giác...

Gọi ${{R}_{1}},{{R}_{2}},{{R}_{3}}$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác $\Delta HAB,\Delta HBC,\Delta HAC$
Áp dụng định lý sin vào các $\Delta HAB,\Delta HBC,\Delta HAC$ ta có:
$AB=2{{R}_{1}}\sin \widehat{AHB}\Rightarrow {{R}_{1}}=\dfrac{AB}{2\sin \widehat{AHB}}=2.$
$BC=2{{R}_{2}}\sin \widehat{BHC}\Rightarrow {{R}_{2}}=\dfrac{BC}{2\sin \widehat{BHC}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.$
$AC=2{{R}_{3}}\sin \widehat{CHA}\Rightarrow {{R}_{1}}=\dfrac{AC}{2\sin \widehat{CHA}}=1.$
Gọi ${{r}_{1}},{{r}_{2}},{{r}_{3}}$ lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện $S.HAB,S.HBC,S.HAC.$
Nhận xét:Trong hình chóp $S.HAB$ với $SH\bot \left( HAB \right)$ ta có $r_{1}^{2}=R_{1}^{2}+{{\left( \dfrac{SH}{2} \right)}^{2}}.$
Khi đó $r_{1}^{2}=R_{1}^{2}+{{\left( \dfrac{SH}{2} \right)}^{2}};r_{2}^{2}=R_{2}^{2}+{{\left( \dfrac{SH}{2} \right)}^{2}};r_{3}^{2}=R_{3}^{2}+{{\left( \dfrac{SH}{2} \right)}^{2}}$.
Suy ra $r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}=R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{3}^{2}+\dfrac{3.S{{H}^{2}}}{4}.$
Do tổng diện tích các mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp $S.HAB,S.HBC,S.HCA$ là $\dfrac{124}{3}\pi $
Ta có: $4\pi \left( r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2} \right)=\dfrac{124}{3}\pi \Leftrightarrow r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}=\dfrac{31}{3}.$
Khi đó: $\dfrac{31}{3}=R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{3}^{2}+\dfrac{3.S{{H}^{2}}}{4}\Leftrightarrow S{{H}^{2}}=\dfrac{4}{3}\left( \dfrac{31}{3}-R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{3}^{2} \right)=\dfrac{16}{3}\Rightarrow SH=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}.$
Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V=\dfrac{1}{3}.{{S}_{\Delta ABC}}.SH=\dfrac{1}{3}.\dfrac{4\sqrt{3}}{3}.\dfrac{{{2}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{4}{3}$ (đvtt).