Cho hình chóp $S.ABC$ có mặt đáy là tam giác đều cạnh bằng 2 và hình chiếu $S$ lên mặt phẳng $\left(ABC\right)$ là điểm $H$ nằm trong tam giác...

Gọi $R_1,R_2,R_3$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác $\mathrm{\Delta }HAB,\mathrm{\Delta }HBC,\mathrm{\Delta }HAC$
Áp dụng định lý sin vào các $\mathrm{\Delta }HAB,\mathrm{\Delta }HBC,\mathrm{\Delta }HAC$ ta có:
$AB=2R_1\sin \widehat{AHB}\Rightarrow R_1={\displaystyle \frac{AB}{2\sin \widehat{AHB}}}=2.$
$BC=2R_2\sin \widehat{BHC}\Rightarrow R_2={\displaystyle \frac{BC}{2\sin \widehat{BHC}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}.$
$AC=2R_3\sin \widehat{CHA}\Rightarrow R_1={\displaystyle \frac{AC}{2\sin \widehat{CHA}}}=1.$
Gọi $r_1,r_2,r_3$ lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện $S.HAB,S.HBC,S.HAC.$
Nhận xét:Trong hình chóp $S.HAB$ với $SH\mathrm{\perp }\left(HAB\right)$ ta có $r_1^2=R_1^2+{\left({\displaystyle \frac{SH}{2}}\right)}^2.$
Khi đó $r_1^2=R_1^2+{\left({\displaystyle \frac{SH}{2}}\right)}^2;r_2^2=R_2^2+{\left({\displaystyle \frac{SH}{2}}\right)}^2;r_3^2=R_3^2+{\left({\displaystyle \frac{SH}{2}}\right)}^2$.
Suy ra $r_1^2+r_2^2+r_3^2=R_1^2+R_2^2+R_3^2+{\displaystyle \frac{3.S{H}^2}{4}}.$
Do tổng diện tích các mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp $S.HAB,S.HBC,S.HCA$ là ${\displaystyle \frac{124}{3}}\pi$
Ta có: $4\pi (r_1^2+r_2^2+r_3^2)={\displaystyle \frac{124}{3}}\pi \iff r_1^2+r_2^2+r_3^2={\displaystyle \frac{31}{3}}.$
Khi đó: ${\displaystyle \frac{31}{3}}=R_1^2+R_2^2+R_3^2+{\displaystyle \frac{3.S{H}^2}{4}}\iff S{H}^2={\displaystyle \frac{4}{3}}({\displaystyle \frac{31}{3}}-R_1^2+R_2^2+R_3^2)={\displaystyle \frac{16}{3}}\Rightarrow SH={\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}}.$
Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V={\displaystyle \frac{1}{3}}.S_{\mathrm{\Delta }ABC}.SH={\displaystyle \frac{1}{3}}.{\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}}.{\displaystyle \frac{2^2\sqrt{3}}{4}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$ (đvtt).