Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có mặt đáy $ABC$ là tam giác vuông cân, $AB=AC=a$ ; $SA\bot \left( ABC \right)$ và $SA=2a$. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{9\pi {{a}^{3}}}{2}$
B. $\dfrac{3\pi {{a}^{3}}}{2}$
C. $\sqrt{6}\pi {{a}^{3}}$
D. $3\sqrt{6}\pi {{a}^{3}}$
Gọi M là trung điểm cạnh $BC$, do $ABC$ là tam giác vuông cân nên $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Đường thẳng $Mt\parallel SA$, nên $Mt$ là trục của đáy $ABC$.
Trong mặt phẳng $\left( SA,Mt \right)$ dựng đường trung trực cạnh $SA$,cắt $Mt$ tại $O$. Khi đó $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$, bán kính mặt cầu là $R=OA=\sqrt{O{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}}$.
$OM=\dfrac{SA}{2}=a;$ $AM=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$. Vậy $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
Thể tích khối cầu bằng $V=\sqrt{6}\pi {{a}^{3}}$.
A. $\dfrac{9\pi {{a}^{3}}}{2}$
B. $\dfrac{3\pi {{a}^{3}}}{2}$
C. $\sqrt{6}\pi {{a}^{3}}$
D. $3\sqrt{6}\pi {{a}^{3}}$
Đường thẳng $Mt\parallel SA$, nên $Mt$ là trục của đáy $ABC$.
Trong mặt phẳng $\left( SA,Mt \right)$ dựng đường trung trực cạnh $SA$,cắt $Mt$ tại $O$. Khi đó $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$, bán kính mặt cầu là $R=OA=\sqrt{O{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}}$.
$OM=\dfrac{SA}{2}=a;$ $AM=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$. Vậy $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
Thể tích khối cầu bằng $V=\sqrt{6}\pi {{a}^{3}}$.
Đáp án D.