Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $\left( ABC \right)$ thỏa mãn $AB=a,AC=2a,\widehat{BAC}=120{}^\circ $ ; $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $SA=a$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $AM$.
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Ta có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC.cos\widehat{BAC}=7{{a}^{2}}\Rightarrow B{{M}^{2}}=\dfrac{7{{a}^{2}}}{4}$
$A{{M}^{2}}=\dfrac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}{2}-\dfrac{B{{C}^{2}}}{4}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}$ ; $A{{B}^{2}}+A{{M}^{2}}=B{{M}^{2}}\Rightarrow \vartriangle ABM$ vuông tại A
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AM\bot AB \\
& AM\bot SA \\
& SA\cap AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AM\bot \left( SAB \right) $. Trong mp$ \left( SAB \right) $, kẻ $ AH\bot SB $, vậy $ AH $ là đoạn vuông góc chung của $ AM $ và $ SB $. Do $ \vartriangle SAB $ vuông cân đỉnh $ S $ nên $ AH=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
$A{{M}^{2}}=\dfrac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}{2}-\dfrac{B{{C}^{2}}}{4}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}$ ; $A{{B}^{2}}+A{{M}^{2}}=B{{M}^{2}}\Rightarrow \vartriangle ABM$ vuông tại A
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AM\bot AB \\
& AM\bot SA \\
& SA\cap AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AM\bot \left( SAB \right) $. Trong mp$ \left( SAB \right) $, kẻ $ AH\bot SB $, vậy $ AH $ là đoạn vuông góc chung của $ AM $ và $ SB $. Do $ \vartriangle SAB $ vuông cân đỉnh $ S $ nên $ AH=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Đáp án A.