Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $B$, cạnh $SA$ vuông góc với đáy, góc $\widehat{ACB}={{60}^{0}}$, $BC=a$, $SA=a\sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm của $SB$. Tính thể tích khối tứ diện $MABC$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $B$ nên $\tan \widehat{ACB}=\sqrt{3}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AB}{a}\Rightarrow AB=a\sqrt{3}$.
Suy ra: ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.BC=\dfrac{1}{2}a.a\sqrt{3}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}.$
$\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}.$
Do $M$ là trung điểm của $SB$ nên theo công thức tỷ số thể tích ta có: $\dfrac{{{V}_{MABC}}}{{{V}_{SABC}}}=\dfrac{{{V}_{BAMC}}}{{{V}_{BASC}}}=\dfrac{BM}{BS}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{V}_{MABC}}=\dfrac{1}{2}.{{V}_{SABC}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{{{a}^{3}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
Suy ra: ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.BC=\dfrac{1}{2}a.a\sqrt{3}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}.$
$\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}.$
Do $M$ là trung điểm của $SB$ nên theo công thức tỷ số thể tích ta có: $\dfrac{{{V}_{MABC}}}{{{V}_{SABC}}}=\dfrac{{{V}_{BAMC}}}{{{V}_{BASC}}}=\dfrac{BM}{BS}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{V}_{MABC}}=\dfrac{1}{2}.{{V}_{SABC}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{{{a}^{3}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
Đáp án C.