Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S. ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, $\widehat{ABC}=30{}^\circ $, $BC=a$. Hai mặt bên $\left(SAB \right)$ và $\left(SAC \right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt bên $\left(SBC \right)$ tạo với đáy một góc $45{}^\circ $. Thể tích của khối chóp $S. ABC$ là:
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{64}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{16}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{9}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{32}$.
$\left. \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABC \right) \\
& \left( SAC \right)\bot \left( ABC \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( SAC \right)=SA \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow SA\bot \left( ABC \right)$.
Dựng $AH\bot BC\Rightarrow SH\bot BC$ (định lý ba đường vuông góc).
Mà $\left. \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\cap \left( ABC \right)=BC \\
& AH\subset \left( ABC \right) \\
& SH\subset \left( SBC \right) \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow \widehat{\left( \left( SBC \right),\left( ABC \right) \right)}=\left( SH,AH \right)=\widehat{SHA}=45{}^\circ $.
Mặt khác, tam giác $SAH$ có $\widehat{A}=90{}^\circ $ suy ra tam giác $SAH$ vuông cân đỉnh $A$ hay $SA=AH=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}BC.\cos 30{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.a=\dfrac{{{a}^{3}}}{32}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{64}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{16}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{9}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{32}$.
$\left. \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABC \right) \\
& \left( SAC \right)\bot \left( ABC \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( SAC \right)=SA \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow SA\bot \left( ABC \right)$.
Dựng $AH\bot BC\Rightarrow SH\bot BC$ (định lý ba đường vuông góc).
Mà $\left. \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\cap \left( ABC \right)=BC \\
& AH\subset \left( ABC \right) \\
& SH\subset \left( SBC \right) \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow \widehat{\left( \left( SBC \right),\left( ABC \right) \right)}=\left( SH,AH \right)=\widehat{SHA}=45{}^\circ $.
Mặt khác, tam giác $SAH$ có $\widehat{A}=90{}^\circ $ suy ra tam giác $SAH$ vuông cân đỉnh $A$ hay $SA=AH=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}BC.\cos 30{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.a=\dfrac{{{a}^{3}}}{32}$.
Đáp án D.