Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, $AC=a$, $I$ là trung điểm $SC$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên $\left( ABC \right)$ là trung điểm $H$ của $BC$. Mặt phẳng $\left( SAB \right)$ tạo với $\left( ABC \right)$ một góc $60{}^\circ $. Tính khoảng cách từ $I$ đến $\left( SAB \right)$.
A. $\frac{a\sqrt{3}}{4}$.
B. $\frac{a\sqrt{3}}{5}$.
C. $\frac{a\sqrt{5}}{4}$.
D. $\frac{a\sqrt{2}}{3}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, suy ra $HM \text{//} AC$.
Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $HM\bot AB$. $\left( 1 \right)$.
Theo giả thiết, $SH\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SH\bot AB$. $\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) suy ra $SM\bot AB$. Vậy $\widehat{\left( \left( SAB \right);\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( SM ; HM \right)}=\widehat{SMH}=60{}^\circ $.
Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ lên $SM$, suy ra $HK\bot \left( SAB \right)$.
Trong tam giác vuông $HKM$ có $HK=HM.\sin 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{3}}{4}$.
Vì $HI \text{//} SB$ nên $d\left( I ; \left( SAB \right) \right)=d\left( H; \left( SAB \right) \right)=HK=\frac{a\sqrt{3}}{4}$.
A. $\frac{a\sqrt{3}}{4}$.
B. $\frac{a\sqrt{3}}{5}$.
C. $\frac{a\sqrt{5}}{4}$.
D. $\frac{a\sqrt{2}}{3}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, suy ra $HM \text{//} AC$.
Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $HM\bot AB$. $\left( 1 \right)$.
Theo giả thiết, $SH\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SH\bot AB$. $\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) suy ra $SM\bot AB$. Vậy $\widehat{\left( \left( SAB \right);\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( SM ; HM \right)}=\widehat{SMH}=60{}^\circ $.
Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ lên $SM$, suy ra $HK\bot \left( SAB \right)$.
Trong tam giác vuông $HKM$ có $HK=HM.\sin 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{3}}{4}$.
Vì $HI \text{//} SB$ nên $d\left( I ; \left( SAB \right) \right)=d\left( H; \left( SAB \right) \right)=HK=\frac{a\sqrt{3}}{4}$.
Đáp án A.