Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, $AB=a, AC=a\sqrt{2}$ và $SA\bot \left( ABC \right)$, $SA=a$. Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
B. $\dfrac{a}{2}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{2}}{5}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{10}}{5}$.
Gọi $I$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$, $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SI$.
Ta có:
$\left. \begin{aligned}
& \left. \begin{aligned}
& SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SA\bot BC \\
& AI\bot BC \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow BC\bot \left( SAI \right)\Rightarrow BC\bot AH \\
& SI\bot AH \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)$
Do đó: $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=AH$
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}=\dfrac{5}{2{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{10}}{5}$
Vậy $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{10}}{5}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
B. $\dfrac{a}{2}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{2}}{5}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{10}}{5}$.
Ta có:
$\left. \begin{aligned}
& \left. \begin{aligned}
& SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SA\bot BC \\
& AI\bot BC \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow BC\bot \left( SAI \right)\Rightarrow BC\bot AH \\
& SI\bot AH \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)$
Do đó: $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=AH$
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}=\dfrac{5}{2{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{10}}{5}$
Vậy $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{10}}{5}$.
Đáp án D.