Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $A,AB=3a,AC=6a.$ $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a.$ Gọi $M$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $AM=2MB.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SM$ và $BC$ bằng
A. $\dfrac{a}{2}$
B. $\dfrac{2\sqrt{21}}{21}a$
C. $\dfrac{4\sqrt{21}}{21}a$
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Gọi $N$ thuộc cạnh $AC$ sao cho $AN=2NC\Rightarrow MN//BC\Rightarrow BC//\left( SMN \right).$
$\Rightarrow d\left( SM,BC \right)=d\left( BC,\left( SMN \right) \right)=d\left( B,\left( SMN \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A,\left( SMN \right) \right)=\dfrac{1}{2}h.$
Ta có: $\dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{N}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{16{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{21}{16{{a}^{2}}}\Rightarrow h=\dfrac{4\sqrt{21}}{21}a.$
$\Rightarrow d\left( SM,BC \right)=\dfrac{2\sqrt{21}}{21}a.$
A. $\dfrac{a}{2}$
B. $\dfrac{2\sqrt{21}}{21}a$
C. $\dfrac{4\sqrt{21}}{21}a$
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Gọi $N$ thuộc cạnh $AC$ sao cho $AN=2NC\Rightarrow MN//BC\Rightarrow BC//\left( SMN \right).$
$\Rightarrow d\left( SM,BC \right)=d\left( BC,\left( SMN \right) \right)=d\left( B,\left( SMN \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A,\left( SMN \right) \right)=\dfrac{1}{2}h.$
Ta có: $\dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{N}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{16{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{21}{16{{a}^{2}}}\Rightarrow h=\dfrac{4\sqrt{21}}{21}a.$
$\Rightarrow d\left( SM,BC \right)=\dfrac{2\sqrt{21}}{21}a.$
Đáp án B.