Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$, $AC=2a$, $SA\bot \left( ABC \right)$, $SA=2a$. Gọi $H$, $K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB,$ $SC.$ Góc giữa hai mặt phẳng $\left( AHK \right)$ và $\left( ABC \right)$ bằng
A. ${{30}^{0}}$.
B. ${{45}^{0}}$.
C. ${{60}^{0}}$.
D. ${{90}^{0}}$.
Ta có $BC\bot AB$ (do tam giác $ABC$ vuông tại $B$ ); $BC\bot SA$ $\left( \text{do }SA\bot \left( ABC \right) \right)$ ; mà $AB$, $SA$ cắt nhau trong $\left( SAB \right)$ nên $BC\bot \left( SAB \right).$
Suy ra $\left( SBC \right)\bot \left( SAB \right)$ theo giao tuyến $SB$ ; mà $AH\bot SB;AH\subset \left( SAB \right)$ nên $AH\bot \left( SBC \right)$.
Từ đó suy ra $AH\bot SC.$
Lại có $AK\bot SC$ ; $AH,AK$ cắt nhau trong $\left( AHK \right)$ nên $SC\bot \left( AHK \right)$ (1).
Mặt khác $SA\bot \left( ABC \right)$ (2).
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta suy ra $\widehat{\left( \left( AHK \right);\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( SC;SA \right)}=\widehat{ASC}$.
Vì tam giác $SAC$ vuông cân tại $A$ nên $\widehat{ASC}={{45}^{0}}.$
Vậy góc giữa hai mặt phẳng $\left( AHK \right)$ và $\left( ABC \right)$ bằng ${{45}^{0}}$.
A. ${{30}^{0}}$.
B. ${{45}^{0}}$.
C. ${{60}^{0}}$.
D. ${{90}^{0}}$.
Ta có $BC\bot AB$ (do tam giác $ABC$ vuông tại $B$ ); $BC\bot SA$ $\left( \text{do }SA\bot \left( ABC \right) \right)$ ; mà $AB$, $SA$ cắt nhau trong $\left( SAB \right)$ nên $BC\bot \left( SAB \right).$
Suy ra $\left( SBC \right)\bot \left( SAB \right)$ theo giao tuyến $SB$ ; mà $AH\bot SB;AH\subset \left( SAB \right)$ nên $AH\bot \left( SBC \right)$.
Từ đó suy ra $AH\bot SC.$
Lại có $AK\bot SC$ ; $AH,AK$ cắt nhau trong $\left( AHK \right)$ nên $SC\bot \left( AHK \right)$ (1).
Mặt khác $SA\bot \left( ABC \right)$ (2).
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta suy ra $\widehat{\left( \left( AHK \right);\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( SC;SA \right)}=\widehat{ASC}$.
Vì tam giác $SAC$ vuông cân tại $A$ nên $\widehat{ASC}={{45}^{0}}.$
Vậy góc giữa hai mặt phẳng $\left( AHK \right)$ và $\left( ABC \right)$ bằng ${{45}^{0}}$.
Đáp án B.