Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B,AB=a,\angle SAB=\angle SCB={{90}^{0}},$ cạnh bên $SA$ tạo với mặt phẳng đáy góc...

Phương pháp:
- Gọi $I$ là trung điểm $SB.$ Chứng minh $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$.
- Xác định góc giữa $SA$ và $\left( ABC \right)$.
- Đặt $SB=x\left( x>a \right),$ tính $SA,SM,SH$ theo $x.$
- Tính ${{S}_{\Delta SBM}}=\sqrt{p\left( p-SB \right)\left( p-BM \right)\left( p-SM \right)}$ với $p$ là nửa chu vi tam giác $SBM.$
- Giải phương trình $\sqrt{p\left( p-SB \right)\left( p-BM \right)\left( p-SM \right)}=\dfrac{1}{2}SH.BM$ tìm $x$ theo $a$ và suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
- Diện tích mặt cầu bán kính $R$ là $S=4\pi {{R}^{2}}.$
Cách giải:

Gọi $I$ là trung điểm của $SB.$
Vì $\angle SAB=\angle SCB={{90}^{0}}$ nên $IA=IC=\dfrac{1}{2}SB=IS=IB\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AC$ ta có $\Delta ABC$ vuông cân tại $B\Rightarrow BM\bot AC$.
Lại có $\Delta SAB=\Delta SCB$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông) $\Rightarrow SA=SC.$
$\Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại $S\Rightarrow SM\bot AC$,
$\Rightarrow AC\bot \left( SMB \right)$.
Trong $\left( SBM \right)$ kẻ $SH\bot BM$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& SH\bot BM \\
& SH\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right).$
$\Rightarrow HA$ là hình chiếu vuông góc của $SA$ lên $\left( ABC \right)\Rightarrow \angle \left( SA;\left( ABC \right) \right)=\angle \left( SA;HA \right)=\angle SAH={{60}^{0}},$
Đặt $SB=x\left( x>a \right)$ ta có $SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}.$
Vì $\Delta ABC$ vuông cân tại $B$ có $AB=a$ nên $AC=a\sqrt{2},BM=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
$\Rightarrow SM=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{M}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{2}}=\sqrt{{{x}^{2}}-\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}}.$
Gọi $p$ là nửa chu vi tam giác $SBM$ ta có $p=\dfrac{SB+BM+SM}{2}=\dfrac{x+\dfrac{a\sqrt{2}}{2}+\sqrt{{{x}^{2}}-\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}}}{2}.$
Xét tam giác vuông $SAH$ ta có $SH=SA.\sin {{60}^{0}}=\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta SBM}}=\sqrt{p\left( p-SB \right)\left( p-BM \right)\left( p-SM \right)}=\dfrac{1}{2}SH.BM$
$\Rightarrow \sqrt{p\left( p-SB \right)\left( p-BM \right)\left( p-SM \right)}=\dfrac{1}{2}.\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$\Leftrightarrow 8\sqrt{p\left( p-SB \right)\left( p-BM \right)\left( p-SM \right)}=\sqrt{6}.\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}$
$\Leftrightarrow 64p\left( p-SB \right)\left( p-BM \right)\left( p-SM \right)=6\left( {{x}^{2}}-{{a}^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow x=a\sqrt{5}$
$\Rightarrow $ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là $R=\dfrac{1}{2}SB=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.$
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .{{\left( \dfrac{\sqrt{5}}{2}a \right)}^{2}}=5\pi {{a}^{2}}.$