Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân ở đỉnh Cvà $SA\bot \left( ABC \right),SC=a$. Gọi $x$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( SCB \right)$ và $\left( ABC \right)$ để thể tích khối chóp $S.ABC$ lớn nhất. Giá trị $\cos x$ bằng
A. $0$
B. $1$
C. $\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
D. $\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
A. $0$
B. $1$
C. $\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
D. $\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
Phương pháp:
- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến, từ đó xác định góc x.
- Tính SA; ${{S}_{ABC}}$ theo x.
- Tính thể tích khối chóp ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}.~$
- Sử dụng phương pháp hàm số xác định giá trị lớn nhất của hàm thể tích.
Cách giải:
Ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AC \$/I]
& BC\bot SA \$/I]
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BC\bot SC$
Khi đó ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\cap \left( ABC \right)=BC \\
& \left( SBC \right)\supset SC\bot BC \\
& \left( ABC \right)\supset AC\bot BC \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \angle \left( \left( SBC \right);\left( ABC \right) \right)=\angle \left( SC;AC \right)=\angle SCA.~$
$\Rightarrow x=\angle SCA.~$
Ta có: $SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SA\bot AC\Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại A.
Tam giác SACvuông tại Acó $SC=a;\angle SCA=x\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& SA=a.\sin x \\
& AC=BC=a.\cos x \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AC.BC=\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}.co{{s}^{2}}x$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow V=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.{{a}^{3}}.\sin x.\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}co{{s}^{2}}x \\
& \Rightarrow V=\dfrac{1}{6}{{a}^{3}}\sin xco{{s}^{2}}x=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}\sin x\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right) \\
& \Rightarrow V=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}\left( \sin x-{{\sin }^{3}}x \right) \\
\end{aligned}$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\sin x-si{{n}^{3}}x$ với $x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right]$
Đặt $t=\sin x,t\in \left( 0;1 \right].~$
Khi đó hàm số trở thành: f( t) = t- t3 với t∈ ( 0;1 ] .
Ta có: $f'\left( t \right)=1-3{{t}^{2}}=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy hàm số y= f( t) đạt giá trị lớn nhất $\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
Khi đó thể tích khối chóp đạt GTLN tại $\sin x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \cos x=\sqrt{1-si{{n}^{2}}x}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}.~$
- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến, từ đó xác định góc x.
- Tính SA; ${{S}_{ABC}}$ theo x.
- Tính thể tích khối chóp ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}.~$
- Sử dụng phương pháp hàm số xác định giá trị lớn nhất của hàm thể tích.
Cách giải:
Ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AC \$/I]
& BC\bot SA \$/I]
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BC\bot SC$
Khi đó ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\cap \left( ABC \right)=BC \\
& \left( SBC \right)\supset SC\bot BC \\
& \left( ABC \right)\supset AC\bot BC \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \angle \left( \left( SBC \right);\left( ABC \right) \right)=\angle \left( SC;AC \right)=\angle SCA.~$
$\Rightarrow x=\angle SCA.~$
Ta có: $SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SA\bot AC\Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại A.
Tam giác SACvuông tại Acó $SC=a;\angle SCA=x\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& SA=a.\sin x \\
& AC=BC=a.\cos x \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AC.BC=\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}.co{{s}^{2}}x$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow V=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.{{a}^{3}}.\sin x.\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}co{{s}^{2}}x \\
& \Rightarrow V=\dfrac{1}{6}{{a}^{3}}\sin xco{{s}^{2}}x=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}\sin x\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right) \\
& \Rightarrow V=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}\left( \sin x-{{\sin }^{3}}x \right) \\
\end{aligned}$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\sin x-si{{n}^{3}}x$ với $x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right]$
Đặt $t=\sin x,t\in \left( 0;1 \right].~$
Khi đó hàm số trở thành: f( t) = t- t3 với t∈ ( 0;1 ] .
Ta có: $f'\left( t \right)=1-3{{t}^{2}}=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy hàm số y= f( t) đạt giá trị lớn nhất $\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
Khi đó thể tích khối chóp đạt GTLN tại $\sin x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \cos x=\sqrt{1-si{{n}^{2}}x}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}.~$
Đáp án C.