Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân đỉnh $C,AB=2a,$ cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left( SAB \right)$ bằng ${{30}^{0}}$ (tham khảo hình bên). Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng:
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$
B. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$
C. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{3}$
D. $\sqrt{6}{{a}^{3}}$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$
B. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$
C. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{3}$
D. $\sqrt{6}{{a}^{3}}$
Cách giải:
Trong $\left( ABC \right)$ kẻ $CM\bot AB.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& CM\bot AB \\
& CM\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CM\bot \left( SAB \right) $ nên $ SM $ là hình chiếu của $ SC $ lên $ \left( SAB \right).$
Do đó $\angle \left( SC;\left( SAB \right) \right)=\angle \left( SC;MC \right)=\angle CSM={{30}^{0}}$
Vì $\Delta ABC$ vuông cân tại $C$ và có $AB=2a$ nên $CM=\dfrac{1}{2}AB=a.$
Xét tam giác vuông $SMC$ ta có: $SM=MC.\cot {{30}^{0}}=a\sqrt{3}.$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $SAM$ ta có: $SA=\sqrt{S{{M}^{2}}-M{{A}^{2}}}=a\sqrt{2}.$
Có ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}CM.AB=\dfrac{1}{2}.a.2a={{a}^{2}}.$
Vậy $V=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}.a\sqrt{2}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}.$
Trong $\left( ABC \right)$ kẻ $CM\bot AB.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& CM\bot AB \\
& CM\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CM\bot \left( SAB \right) $ nên $ SM $ là hình chiếu của $ SC $ lên $ \left( SAB \right).$
Do đó $\angle \left( SC;\left( SAB \right) \right)=\angle \left( SC;MC \right)=\angle CSM={{30}^{0}}$
Vì $\Delta ABC$ vuông cân tại $C$ và có $AB=2a$ nên $CM=\dfrac{1}{2}AB=a.$
Xét tam giác vuông $SMC$ ta có: $SM=MC.\cot {{30}^{0}}=a\sqrt{3}.$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $SAM$ ta có: $SA=\sqrt{S{{M}^{2}}-M{{A}^{2}}}=a\sqrt{2}.$
Có ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}CM.AB=\dfrac{1}{2}.a.2a={{a}^{2}}.$
Vậy $V=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}.a\sqrt{2}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}.$
Đáp án B.