Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $a$, tam giác $SAB$ cân tại $S$ và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$, góc giữa hai mặt phẳng $\left( SCA \right)$ và $\left( SCB \right)$ bằng ${{60}^{0}}$. Gọi $H$ là trung điểm của đoạn $AB$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:
A. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{16}$.
B. Thể tích khối chóp $B.SHC$ bằng $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{16}$.
C. Thể tích khối chóp $S.AHC$ bằng $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{64}$.
D. Không tồn tại hình chóp đã cho.
Kẻ $AK\bot SC\Rightarrow SC\bot \left( AKB \right)$ $\Rightarrow SC\bot KB$
$\Rightarrow \left( \left( SAC \right);\left( SBC \right) \right)=\left( KA;KB \right)={{60}^{0}}$ $\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& \widehat{AKB}={{60}^{0}} \\
& \widehat{AKB}={{120}^{0}} \\
\end{aligned} \right.$
Nếu $\widehat{AKB}={{60}^{0}}$ thì dễ thấy $\Delta KAB$ đều $\Rightarrow KA=KB=AB=AC$ (vô lí). Vậy $\widehat{AKB}={{120}^{0}}$
khi đó $\Delta KAB$ cân tại $K$ và $\widehat{AKH}={{60}^{0}}$ $\Rightarrow KH=\dfrac{AH}{\tan {{60}^{0}}}=\dfrac{a}{2\sqrt{3}}$
Trong $\Delta SHC$ vuông tại $H$ ta có $\dfrac{1}{K{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{S}^{2}}}$
thay $KH=\dfrac{a}{2\sqrt{3}}$ và $HC=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ vào ta được $SH=\dfrac{a\sqrt{6}}{8}$. Vậy $h=\dfrac{a\sqrt{6}}{8}$.
${{V}_{S.AHC}}=\dfrac{1}{3}.SH.d{{t}_{\Delta AHC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}}{8}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{64}$.
A. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{16}$.
B. Thể tích khối chóp $B.SHC$ bằng $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{16}$.
C. Thể tích khối chóp $S.AHC$ bằng $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{64}$.
D. Không tồn tại hình chóp đã cho.
Tam giác $SAB$ thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ $\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)$, từ đó suy ra đường cao của hình chóp $S.AHC$ là $SH$ $\Rightarrow \left( \left( SAC \right);\left( SBC \right) \right)=\left( KA;KB \right)={{60}^{0}}$ $\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& \widehat{AKB}={{60}^{0}} \\
& \widehat{AKB}={{120}^{0}} \\
\end{aligned} \right.$
Nếu $\widehat{AKB}={{60}^{0}}$ thì dễ thấy $\Delta KAB$ đều $\Rightarrow KA=KB=AB=AC$ (vô lí). Vậy $\widehat{AKB}={{120}^{0}}$
khi đó $\Delta KAB$ cân tại $K$ và $\widehat{AKH}={{60}^{0}}$ $\Rightarrow KH=\dfrac{AH}{\tan {{60}^{0}}}=\dfrac{a}{2\sqrt{3}}$
Trong $\Delta SHC$ vuông tại $H$ ta có $\dfrac{1}{K{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{S}^{2}}}$
thay $KH=\dfrac{a}{2\sqrt{3}}$ và $HC=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ vào ta được $SH=\dfrac{a\sqrt{6}}{8}$. Vậy $h=\dfrac{a\sqrt{6}}{8}$.
${{V}_{S.AHC}}=\dfrac{1}{3}.SH.d{{t}_{\Delta AHC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}}{8}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{64}$.
Đáp án C.