Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 1, biết khoảng cách từ $A$ đến $\left( SBC \right)$ là $\dfrac{\sqrt{6}}{4},$ từ $B$ đến $\left( SAC \right)$ là $\dfrac{\sqrt{15}}{10},$ từ $C$ đến $\left( SAB \right)$ là $\dfrac{\sqrt{30}}{20}$ và hình chiếu vuông góc của $S$ trên $\left( ABC \right)$ nằm trong tam giác $ABC.$ Tính thể tích của khối chóp $S.ABC?$
A. $\dfrac{1}{48}.$
B. $\dfrac{1}{24}.$
C. $\dfrac{1}{36}.$
D. $\dfrac{1}{12}.$
Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên $\left( ABC \right).$ Gọi $M;N;P$ lần lượt là hình chiếu của $H$ lên $AB;AC;BC.$
Ta có: ${{V}_{SABC}}=\dfrac{1}{6}.SP.BC.d\left( A;\left( SBC \right) \right)=\dfrac{1}{6}.SM.AB.d\left( C;\left( SAB \right) \right)=\dfrac{1}{6}.SN.AC.d\left( B;\left( SAC \right) \right)$
$\Rightarrow SP.\dfrac{\sqrt{6}}{4}=SM.\dfrac{\sqrt{30}}{20}=SN.\dfrac{\sqrt{15}}{10}\Rightarrow \dfrac{SP}{\sqrt{2}}=\dfrac{SM}{\sqrt{10}}=\dfrac{SN}{5}.$
Đặt $x=\dfrac{SP}{\sqrt{2}}=\dfrac{SM}{\sqrt{10}}=\dfrac{SN}{\sqrt{5}};y=SH\Rightarrow MH=\sqrt{10{{x}^{2}}-{{y}^{2}}};NH=\sqrt{5{{x}^{2}}-{{y}^{2}}};PH=\sqrt{2{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}$
$\dfrac{d\left( H;\left( SBC \right) \right)}{d\left( A;\left( SBC \right) \right)}=\dfrac{PH}{d\left( A;BC \right)}=\dfrac{2\sqrt{2{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}{\sqrt{3}}\Rightarrow d\left( H;\left( SBC \right) \right)=\dfrac{\sqrt{2{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}{\sqrt{2}}$
Trong tam giác vuông $SHP$ ta có:
$SH.PH=SP.d\left( H;\left( SBC \right) \right)\Rightarrow y\sqrt{2{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}=x\sqrt{2}.\dfrac{\sqrt{2{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}{\sqrt{2}}\Rightarrow x=y$
$\Rightarrow MH=3x;NH=2x;PH=x.$ Trong tam giác đều $ABC$ ta có
$MH+NH+PH=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\dfrac{\sqrt{3}}{12}\Rightarrow AH=\dfrac{\sqrt{3}}{12}\Rightarrow {{V}_{SABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{12}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{1}{48}.$
A. $\dfrac{1}{48}.$
B. $\dfrac{1}{24}.$
C. $\dfrac{1}{36}.$
D. $\dfrac{1}{12}.$
Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên $\left( ABC \right).$ Gọi $M;N;P$ lần lượt là hình chiếu của $H$ lên $AB;AC;BC.$
Ta có: ${{V}_{SABC}}=\dfrac{1}{6}.SP.BC.d\left( A;\left( SBC \right) \right)=\dfrac{1}{6}.SM.AB.d\left( C;\left( SAB \right) \right)=\dfrac{1}{6}.SN.AC.d\left( B;\left( SAC \right) \right)$
$\Rightarrow SP.\dfrac{\sqrt{6}}{4}=SM.\dfrac{\sqrt{30}}{20}=SN.\dfrac{\sqrt{15}}{10}\Rightarrow \dfrac{SP}{\sqrt{2}}=\dfrac{SM}{\sqrt{10}}=\dfrac{SN}{5}.$
Đặt $x=\dfrac{SP}{\sqrt{2}}=\dfrac{SM}{\sqrt{10}}=\dfrac{SN}{\sqrt{5}};y=SH\Rightarrow MH=\sqrt{10{{x}^{2}}-{{y}^{2}}};NH=\sqrt{5{{x}^{2}}-{{y}^{2}}};PH=\sqrt{2{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}$
$\dfrac{d\left( H;\left( SBC \right) \right)}{d\left( A;\left( SBC \right) \right)}=\dfrac{PH}{d\left( A;BC \right)}=\dfrac{2\sqrt{2{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}{\sqrt{3}}\Rightarrow d\left( H;\left( SBC \right) \right)=\dfrac{\sqrt{2{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}{\sqrt{2}}$
Trong tam giác vuông $SHP$ ta có:
$SH.PH=SP.d\left( H;\left( SBC \right) \right)\Rightarrow y\sqrt{2{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}=x\sqrt{2}.\dfrac{\sqrt{2{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}{\sqrt{2}}\Rightarrow x=y$
$\Rightarrow MH=3x;NH=2x;PH=x.$ Trong tam giác đều $ABC$ ta có
$MH+NH+PH=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\dfrac{\sqrt{3}}{12}\Rightarrow AH=\dfrac{\sqrt{3}}{12}\Rightarrow {{V}_{SABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{12}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{1}{48}.$
Đáp án A.