Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 1, biết khoảng cách từ $A$ đến $(S B C)$ là $\frac{\sqrt{6}}{4},$ từ $B$ đến...

The Collectors · 31/5/21

Câu hỏi: Cho hình chóp

S . A B C

có đáy là tam giác đều cạnh bằng 1, biết khoảng cách từ

A

đến

(S B C)

là

\frac{\sqrt{6}}{4},

từ

B

đến

(S A C)

là

\frac{\sqrt{15}}{10},

từ

C

đến

(S A B)

là

\frac{\sqrt{30}}{20}

và hình chiếu vuông góc của

S

trên

(A B C)

nằm trong tam giác

A B C .

Tính thể tích của khối chóp

S . A B C ?

A.

\frac{1}{48} .

B.

\frac{1}{24} .

C.

\frac{1}{36} .

D.

\frac{1}{12} .

Gọi

H

là hình chiếu của

S

lên

(A B C) .

Gọi

M; N; P

lần lượt là hình chiếu của

H

lên

A B; A C; B C .

Ta có:

V_{S A B C} = \frac{1}{6} . S P . B C . d (A; (S B C)) = \frac{1}{6} . S M . A B . d (C; (S A B)) = \frac{1}{6} . S N . A C . d (B; (S A C))

\Rightarrow S P . \frac{\sqrt{6}}{4} = S M . \frac{\sqrt{30}}{20} = S N . \frac{\sqrt{15}}{10} \Rightarrow \frac{S P}{\sqrt{2}} = \frac{S M}{\sqrt{10}} = \frac{S N}{5} .

Đặt

x = \frac{S P}{\sqrt{2}} = \frac{S M}{\sqrt{10}} = \frac{S N}{\sqrt{5}}; y = S H \Rightarrow M H = \sqrt{10 x^{2} - y^{2}}; N H = \sqrt{5 x^{2} - y^{2}}; P H = \sqrt{2 x^{2} - y^{2}}

\frac{d (H; (S B C))}{d (A; (S B C))} = \frac{P H}{d (A; B C)} = \frac{2 \sqrt{2 x^{2} - y^{2}}}{\sqrt{3}} \Rightarrow d (H; (S B C)) = \frac{\sqrt{2 x^{2} - y^{2}}}{\sqrt{2}}

Trong tam giác vuông

S H P

ta có:

S H . P H = S P . d (H; (S B C)) \Rightarrow y \sqrt{2 x^{2} - y^{2}} = x \sqrt{2} . \frac{\sqrt{2 x^{2} - y^{2}}}{\sqrt{2}} \Rightarrow x = y

\Rightarrow M H = 3 x; N H = 2 x; P H = x .

Trong tam giác đều

A B C

ta có

M H + N H + P H = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \frac{\sqrt{3}}{12} \Rightarrow A H = \frac{\sqrt{3}}{12} \Rightarrow V_{S A B C} = \frac{1}{3} . \frac{\sqrt{3}}{12} . \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{48} .

Đáp án A.

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 1, biết khoảng cách từ A đến (SBC) là 64, từ B đến...