Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a.$ Hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là điểm $H$ trên cạnh $AB$ sao cho $HA=2HB.$ Góc giữa $SC$ mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng ${{60}^{0}}.$ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ theo $a.$
A. $\dfrac{a\sqrt{42}}{8}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{6}}{8}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{7}.$
D. $\dfrac{a\sqrt{42}}{3}.$
Qua $A$ kẻ đường thẳng $d$ song song với $BC.$ Gọi $I$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $d.$
$BC//\left( SAI \right)\Rightarrow d\left( BC,SA \right)=d\left( BC,\left( SAI \right) \right)=d\left( B,\left( SAI \right) \right)=\dfrac{3}{2}d\left( H,\left( SAI \right) \right).$
Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $SI.$
$AI\bot HI,AI\bot SH\Rightarrow AI\bot \left( SHI \right)\Rightarrow AI\bot HK.$
$\Rightarrow HK\bot \left( SAI \right)\Rightarrow d\left( H,\left( SAI \right) \right)=HK.$
$\widehat{HAI}={{180}^{0}}-\left( {{60}^{0}}+{{60}^{0}} \right)={{60}^{0}}.$
Tam giác $AIH$ vuông tại $I:IH=AH\sin {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$
$\widehat{\left( SC,\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( SC,CH \right)}=\widehat{SCH}={{60}^{0}}.$
$C{{H}^{2}}=B{{C}^{2}}+B{{H}^{2}}-2BC.BH.\cos {{60}^{0}}=\dfrac{7{{a}^{2}}}{9}\Rightarrow CH=\dfrac{a\sqrt{7}}{3}.$
Tam giác $SHC$ vuông tại $H:SH=HC.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{3}.$
Tam giác $SHI$ vuông tại $H:\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}\Rightarrow HK=\dfrac{a\sqrt{42}}{12}.$
$d\left( B,\left( SAI \right) \right)=\dfrac{3}{2}HK=\dfrac{a\sqrt{42}}{8}.$
Vậy $d\left( SA,BC \right)=\dfrac{a\sqrt{42}}{8}.$
A. $\dfrac{a\sqrt{42}}{8}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{6}}{8}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{7}.$
D. $\dfrac{a\sqrt{42}}{3}.$
Qua $A$ kẻ đường thẳng $d$ song song với $BC.$ Gọi $I$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $d.$
$BC//\left( SAI \right)\Rightarrow d\left( BC,SA \right)=d\left( BC,\left( SAI \right) \right)=d\left( B,\left( SAI \right) \right)=\dfrac{3}{2}d\left( H,\left( SAI \right) \right).$
Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $SI.$
$AI\bot HI,AI\bot SH\Rightarrow AI\bot \left( SHI \right)\Rightarrow AI\bot HK.$
$\Rightarrow HK\bot \left( SAI \right)\Rightarrow d\left( H,\left( SAI \right) \right)=HK.$
$\widehat{HAI}={{180}^{0}}-\left( {{60}^{0}}+{{60}^{0}} \right)={{60}^{0}}.$
Tam giác $AIH$ vuông tại $I:IH=AH\sin {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$
$\widehat{\left( SC,\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( SC,CH \right)}=\widehat{SCH}={{60}^{0}}.$
$C{{H}^{2}}=B{{C}^{2}}+B{{H}^{2}}-2BC.BH.\cos {{60}^{0}}=\dfrac{7{{a}^{2}}}{9}\Rightarrow CH=\dfrac{a\sqrt{7}}{3}.$
Tam giác $SHC$ vuông tại $H:SH=HC.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{3}.$
Tam giác $SHI$ vuông tại $H:\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}\Rightarrow HK=\dfrac{a\sqrt{42}}{12}.$
$d\left( B,\left( SAI \right) \right)=\dfrac{3}{2}HK=\dfrac{a\sqrt{42}}{8}.$
Vậy $d\left( SA,BC \right)=\dfrac{a\sqrt{42}}{8}.$
Đáp án A.