Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $4a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và mặt phẳng đáy bằng $60{}^\circ $. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{172\pi {{a}^{2}}}{3}$.
B. $\dfrac{76\pi {{a}^{2}}}{3}$.
C. $84\pi {{a}^{2}}$.
D. $\dfrac{172\pi {{a}^{2}}}{9}$
A. $\dfrac{172\pi {{a}^{2}}}{3}$.
B. $\dfrac{76\pi {{a}^{2}}}{3}$.
C. $84\pi {{a}^{2}}$.
D. $\dfrac{172\pi {{a}^{2}}}{9}$
Ta có tâm của đáy cũng là giao điểm ba đường cao (ba đường trung tuyến) của tam giác đều $ABC$ nên bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là $r=4a.\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{4\sqrt{3}a}{3}$.
Đường cao $AH$ của tam giác đều $ABC$ là $AH=\dfrac{4a.\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}a$.
Góc giữa mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và mặt phẳng đáy bằng $60{}^\circ $ suy ra $\widehat{SHA}=60{}^\circ $.
Suy ra $\tan SHA=\dfrac{SA}{AH}=\dfrac{SA}{2\sqrt{3}a}=\sqrt{3}\Rightarrow SA=6a$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp ${{R}_{mc}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{SA}{2} \right)}^{2}}+{{r}^{2}}}=\sqrt{9{{a}^{2}}+\dfrac{16}{3}{{a}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{129}}{3}a$.
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp $S.ABC$ là ${{S}_{mc}}=4\pi {{R}^{2}}=4\pi {{\left( \dfrac{\sqrt{129}}{3}a \right)}^{2}}=\dfrac{172\pi {{a}^{2}}}{3}$.
Đường cao $AH$ của tam giác đều $ABC$ là $AH=\dfrac{4a.\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}a$.
Góc giữa mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và mặt phẳng đáy bằng $60{}^\circ $ suy ra $\widehat{SHA}=60{}^\circ $.
Suy ra $\tan SHA=\dfrac{SA}{AH}=\dfrac{SA}{2\sqrt{3}a}=\sqrt{3}\Rightarrow SA=6a$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp ${{R}_{mc}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{SA}{2} \right)}^{2}}+{{r}^{2}}}=\sqrt{9{{a}^{2}}+\dfrac{16}{3}{{a}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{129}}{3}a$.
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp $S.ABC$ là ${{S}_{mc}}=4\pi {{R}^{2}}=4\pi {{\left( \dfrac{\sqrt{129}}{3}a \right)}^{2}}=\dfrac{172\pi {{a}^{2}}}{3}$.
Đáp án A.