Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $2a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và mặt phẳng đáy bằng ${{30}^{\circ }}$. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là
A. $\dfrac{43\pi {{a}^{2}}}{3}.$
B. $\dfrac{19\pi {{a}^{2}}}{3}.$
C. $\dfrac{19\pi {{a}^{2}}}{9}.$
D. $13\pi {{a}^{2}}.$
Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $SA$, $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$.
Qua $G$ kẻ đường thẳng $d$ vuông góc với $\left( ABC \right)$ là tập hợp các điểm cách đều $3$ đỉnh $A, B, C.$
Kẻ đường trung trực ${d}'$ của $SA$ là tập hợp các điểm cách đều $A$ và $S.$
Khi đó, giao điểm $I$ của $d$ và ${d}'$ là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
$\Delta ABC$ đều cạnh $2a$ nên ta có $AM=\dfrac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\Rightarrow AG=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.$
Xét $\Delta SAM$ vuông tại $A$ ta có: $SA=AM.\tan {{30}^{\circ }}=a\sqrt{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{3}=a\Rightarrow AN=\dfrac{a}{2}.$
Xét $\Delta ANI$ vuông tại $N$ ta có: $IA=\sqrt{N{{I}^{2}}+A{{N}^{2}}}=\sqrt{A{{G}^{2}}+A{{N}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{2a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{57}}{6}.$
Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ có bán kính $R=\dfrac{a\sqrt{57}}{6}.$ Suy ra diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là $S=4\pi {{\left( \dfrac{a\sqrt{57}}{6} \right)}^{2}}=\dfrac{19\pi {{a}^{2}}}{3}.$
A. $\dfrac{43\pi {{a}^{2}}}{3}.$
B. $\dfrac{19\pi {{a}^{2}}}{3}.$
C. $\dfrac{19\pi {{a}^{2}}}{9}.$
D. $13\pi {{a}^{2}}.$
Qua $G$ kẻ đường thẳng $d$ vuông góc với $\left( ABC \right)$ là tập hợp các điểm cách đều $3$ đỉnh $A, B, C.$
Kẻ đường trung trực ${d}'$ của $SA$ là tập hợp các điểm cách đều $A$ và $S.$
Khi đó, giao điểm $I$ của $d$ và ${d}'$ là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
$\Delta ABC$ đều cạnh $2a$ nên ta có $AM=\dfrac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\Rightarrow AG=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.$
Xét $\Delta SAM$ vuông tại $A$ ta có: $SA=AM.\tan {{30}^{\circ }}=a\sqrt{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{3}=a\Rightarrow AN=\dfrac{a}{2}.$
Xét $\Delta ANI$ vuông tại $N$ ta có: $IA=\sqrt{N{{I}^{2}}+A{{N}^{2}}}=\sqrt{A{{G}^{2}}+A{{N}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{2a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{57}}{6}.$
Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ có bán kính $R=\dfrac{a\sqrt{57}}{6}.$ Suy ra diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là $S=4\pi {{\left( \dfrac{a\sqrt{57}}{6} \right)}^{2}}=\dfrac{19\pi {{a}^{2}}}{3}.$
Đáp án B.