Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác cân tại A, $BAC=120{}^\circ $ và $BC=a\sqrt{3}$. Biết $SA=SB=SC=2a$, tính thể tích của khối chóp $S.ABC$.
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
B. $V={{a}^{3}}$.
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
Gọi I là trung điểm của BC.
Vì tam giác $ABC$ cân tại A nên $AI\bot BC$ và $CAI=BAI=60{}^\circ $
Vì $BC=a\sqrt{3}$ và $BAI=60{}^\circ $ $\Rightarrow AI=\dfrac{a}{2},AB=AC=a.$
Gọi H là điểm đối xứng với A qua I $\Rightarrow AH=a\Rightarrow HB=HC=a$ $\Rightarrow $ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Mà $SA=SB=SC\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)$ $\Rightarrow SH\bot HA$.
Trong tam giác SHA, $SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-H{{A}^{2}}}=a\sqrt{3}$.
Do đó, ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}a\sqrt{3}.\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}.\sin 120{}^\circ =\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
B. $V={{a}^{3}}$.
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
Gọi I là trung điểm của BC.
Vì tam giác $ABC$ cân tại A nên $AI\bot BC$ và $CAI=BAI=60{}^\circ $
Vì $BC=a\sqrt{3}$ và $BAI=60{}^\circ $ $\Rightarrow AI=\dfrac{a}{2},AB=AC=a.$
Gọi H là điểm đối xứng với A qua I $\Rightarrow AH=a\Rightarrow HB=HC=a$ $\Rightarrow $ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Mà $SA=SB=SC\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)$ $\Rightarrow SH\bot HA$.
Trong tam giác SHA, $SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-H{{A}^{2}}}=a\sqrt{3}$.
Do đó, ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}a\sqrt{3}.\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}.\sin 120{}^\circ =\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
Đáp án A.