Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ đều cạnh $a$, tam giác $SBA$ vuông tại $B$, tam giác $SAC$ vuông tại $C$. Biết góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( ABC \right)$ bằng $60{}^\circ $. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ theo $a$.
A. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{12}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{6}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}$.
Gọi $D$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$, suy ra $SD\bot \left( ABC \right)$.
Ta có $SD\bot AB$ và $SB\bot AB$ (gt) suy ra $AB\bot \left( SBD \right)\Rightarrow BA\bot BD$.
Tương tự có $AC\bot DC$ hay tam giác $ACD$ vuông ở $C$.
Dễ thấy $\Delta SBA=\Delta SCA$ (cạnh huyền và cạnh góc vuông), suy ra $SB=SC$. Từ đó ta chứng minh được $\Delta SBD=\Delta SCD$ nên cũng có $DB=DC$.
Vậy $DA$ là đường trung trực của $BC$ nên cũng là đường phân giác của góc $\widehat{BAC}$.
Ta có $\widehat{DAC}=30{}^\circ $, suy ra $DC=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$. Ngoài ra góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( ABC \right)$ là $\widehat{SBD}=60{}^\circ $, suy ra $\tan \widehat{SBD}=\dfrac{SD}{BD}$ $\Rightarrow SD=BD.\tan \widehat{SBD}$ $=\dfrac{a}{\sqrt{3}}.\sqrt{3}=a$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{\Delta ABC}}.SD=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.a=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.
A. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{12}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{6}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}$.
Gọi $D$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$, suy ra $SD\bot \left( ABC \right)$.
Ta có $SD\bot AB$ và $SB\bot AB$ (gt) suy ra $AB\bot \left( SBD \right)\Rightarrow BA\bot BD$.
Tương tự có $AC\bot DC$ hay tam giác $ACD$ vuông ở $C$.
Dễ thấy $\Delta SBA=\Delta SCA$ (cạnh huyền và cạnh góc vuông), suy ra $SB=SC$. Từ đó ta chứng minh được $\Delta SBD=\Delta SCD$ nên cũng có $DB=DC$.
Vậy $DA$ là đường trung trực của $BC$ nên cũng là đường phân giác của góc $\widehat{BAC}$.
Ta có $\widehat{DAC}=30{}^\circ $, suy ra $DC=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$. Ngoài ra góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( ABC \right)$ là $\widehat{SBD}=60{}^\circ $, suy ra $\tan \widehat{SBD}=\dfrac{SD}{BD}$ $\Rightarrow SD=BD.\tan \widehat{SBD}$ $=\dfrac{a}{\sqrt{3}}.\sqrt{3}=a$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{\Delta ABC}}.SD=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.a=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.
Đáp án B.