Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy ABClà tamm giác vuông cân tại...

Phương pháp:
- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông và định lí \cos in trong tam giác.
Cách giải:

Xét $\left( SIH \right)v\grave{a}\left( SBC \right)$ có:
$\left\{ \begin{aligned}
& S\in \left( SIH \right)\cap \left( SBC \right) \\
& IH\subset \left( SIH \right)\subset \left( SBC \right)\Rightarrow \left( SIH \right)\cap \left( SBC \right)=d \\
& IH//BC \\
\end{aligned} \right.$ với dlà đường thẳng qua Svà song song với IH, BC.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AC\left( gt \right) \\
& BC\bot SA\left( SA\bot \left( ABC \right) \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow BC\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BC\bot SC.~$
Mà $BC\text{ //}d\Rightarrow SC\bot ~d.~$
Ta có $IH\text{ //}BC,BC\bot ~\left( SAC \right)\Rightarrow IH\bot \left( SAC \right)\Rightarrow IH\bot SH$.
Mà $IH\text{ //}d\Rightarrow SH\bot ~d.~$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SIH \right)\cap \left( SBC \right)=d \\
& \left( SIH \right)\supset SH\bot d \\
& \left( SBC \right)\supset sc\bot d \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \angle \left( \left( SIH \right);\left( SBC \right) \right)=\angle \left( SH;SC \right)=\angle HSC=\alpha .~$
Tam giác ABCvuông cân tại Ccó $AB=2a~$ nên $AC=BC=\dfrac{AB}{\sqrt{2}}~=a\sqrt{2}$
$\Rightarrow AH=HC=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Áp dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông ta có:
$\begin{aligned}
& SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}==a\sqrt{3} \\
& SH=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{2}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2} \\
\end{aligned}$
Áp dụng định lí Co\sin trong tam giác SHCta có:
$\begin{aligned}
& \cos \angle HSC=\dfrac{S{{H}^{2}}+S{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}}{2SH.SC} \\
& =\dfrac{\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}+3{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{2}}{2.\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.a\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3} \\
\end{aligned}$
Vậy $\cos \alpha =\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$