Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy ABClà tam giác đều cạnh a, SAvuông góc với mặt đáy. Gọi Mlà trung điểm của BC. Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua Avà vuông góc với SMcắt SB, SClần lượt tại E,F. Biết
${{V}_{S.AEF}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{S.ABC}}$ Tính thể tích Vcủa khối chóp $S.ABC$
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$
C. $V=\dfrac{2{{a}^{3}}}{5}$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$
${{V}_{S.AEF}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{S.ABC}}$ Tính thể tích Vcủa khối chóp $S.ABC$
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$
C. $V=\dfrac{2{{a}^{3}}}{5}$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$
Cách giải:
Trong ( SAM) kẻ AH⊥ SM⇒ AH⊂ ( α ) .
Trong ( SBC) kẻ EFđi qua Hvà $EF\bot SM(E\in SB,F\in SC)$, suy ra EF⊂ ( α ) .
⇒ ( α ) ≡ ( AEF) .
Xét ${{\Delta }_{v}}SAB v\grave{a}{{\Delta }_{v}}SAC$ có:
SA chung
AB= AC( gt)
$\Rightarrow {{\Delta }_{v}}SAB={{\Delta }_{v}}SAC$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
⇒ SB= SC⇒ ∆SBCcân tại S, do đó SM⊥ BC.
Mà SM⊥ EF $\Rightarrow EF||BC$ . Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{SE}{SB}=\dfrac{SF}{SC}$
Ta có: $\dfrac{{{V}_{S.AEF}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SE}{SB}.\dfrac{SF}{SC}={{\left( \dfrac{SE}{SB} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow \dfrac{SE}{SB}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{SF}{SC}=\dfrac{SH}{SM}\Rightarrow H$ là trung điểm của SM.
Xét tam giác SAMvuông tại Acó đường cao AHđồng thời là trung tuyến.
⇒∆ SAMvuông cân tại A $\Rightarrow SA=AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
∆ ABCđều cạnh anên ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=~\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$
Trong ( SAM) kẻ AH⊥ SM⇒ AH⊂ ( α ) .
Trong ( SBC) kẻ EFđi qua Hvà $EF\bot SM(E\in SB,F\in SC)$, suy ra EF⊂ ( α ) .
⇒ ( α ) ≡ ( AEF) .
Xét ${{\Delta }_{v}}SAB v\grave{a}{{\Delta }_{v}}SAC$ có:
SA chung
AB= AC( gt)
$\Rightarrow {{\Delta }_{v}}SAB={{\Delta }_{v}}SAC$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
⇒ SB= SC⇒ ∆SBCcân tại S, do đó SM⊥ BC.
Mà SM⊥ EF $\Rightarrow EF||BC$ . Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{SE}{SB}=\dfrac{SF}{SC}$
Ta có: $\dfrac{{{V}_{S.AEF}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SE}{SB}.\dfrac{SF}{SC}={{\left( \dfrac{SE}{SB} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow \dfrac{SE}{SB}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{SF}{SC}=\dfrac{SH}{SM}\Rightarrow H$ là trung điểm của SM.
Xét tam giác SAMvuông tại Acó đường cao AHđồng thời là trung tuyến.
⇒∆ SAMvuông cân tại A $\Rightarrow SA=AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
∆ ABCđều cạnh anên ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=~\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$
Đáp án B.