Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ vuông tại $A$, cạnh $AB=a$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt bên $\left( SBC \right)$ bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$. Thể tích khối chóp $S.ABC$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{20}$.
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{5}}{20}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$.
Gọi $M, H$ lần lượt là trung điểm của $BC,AB$.
Từ giả thiết ta có: $SH\bot \left( ABC \right)$ ; $SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ ; $HB=\dfrac{a}{2}$ ; $d\left( H, \left( SBC \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A, \left( SBC \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.
Ta có tứ diện $SHBM$ vuông tại $H$ nên: $\dfrac{1}{H{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{{{d}^{2}}\left( H, \left( SBC \right) \right)}$ $\Leftrightarrow \dfrac{4}{{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{12}{{{a}^{2}}}$ $\Leftrightarrow AC=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{6}SH.AB.AC=\dfrac{1}{6}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.a.\dfrac{a\sqrt{15}}{5}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{20}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{20}$.
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{5}}{20}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$.
Từ giả thiết ta có: $SH\bot \left( ABC \right)$ ; $SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ ; $HB=\dfrac{a}{2}$ ; $d\left( H, \left( SBC \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A, \left( SBC \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.
Ta có tứ diện $SHBM$ vuông tại $H$ nên: $\dfrac{1}{H{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{{{d}^{2}}\left( H, \left( SBC \right) \right)}$ $\Leftrightarrow \dfrac{4}{{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{12}{{{a}^{2}}}$ $\Leftrightarrow AC=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{6}SH.AB.AC=\dfrac{1}{6}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.a.\dfrac{a\sqrt{15}}{5}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{20}$.
Đáp án B.